Montrer que cette famille est équicontinue à $0$
Laisser $E$ être un espace vectoriel normé, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ pour compact $K\subseteq E$ et $\sigma_c(E',E)$ désignent la topologie initiale par rapport à $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, c'est-à-dire la topologie du sous-espace sur $E'$ hérité de la topologie de la convergence compacte sur $C(K)$.
Laisser $\mathcal C\subseteq C(E')$ être uniformément $\sigma_c(E',E)$-équicontinu.
Pourquoi pouvons-nous conclure que $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Très probablement, la revendication souhaitée est facile à obtenir, mais je ne suis pas en mesure de voir comment en raison du paramètre plutôt compliqué.
$(1)$ est évidemment une sorte d'équicontinuité à $0$. Je ne sais pas si c'est pertinent, mais d'après le théorème de Banach-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ est $\sigma_c(E',E)$-compact pour tous $\delta>0$.
Réponses
Rappelons la définition de l'équicontinuité uniforme de$\mathcal{C}$ comme un ensemble de cartes $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
Pour chaque quartier $V \subseteq \Bbb{R}$ de $O$ il y a un quartier $U$ de $0$ dans $(E',\sigma_c(E',E))$ tel que $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Maintenant pour $\psi = 0$ et $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, on a un quartier $U$ de $0$ tel que $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ être un quartier de $0$ contient une intersection de boules ouvertes en nombre fini autour de l'origine des rayons $\delta_1, \ldots, \delta_k$ par rapport aux semi-formes des ensembles compacts $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Ensembles $K_k$ sont limités en norme par certains $M_k > 0$ donc si nous définissons $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ alors pour tout $\varphi \in E'$ nous avons $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ pour tous $k=1, \ldots, n$ donc $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Si je ne me trompe pas, cela devrait être une instance d'un résultat plus général: Soit
- $(X,\tau)$ être un espace topologique;
- $Y$ être un normé $\mathbb R$-espace vectoriel;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ pour $\tau$-compact $K\subseteq X$ et $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ être un espace métrique;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ être continue par rapport à la topologie localement convexe sur $C(X,\tau;Y)$ généré par $P$ et la métrique $d$ sur $Z$.
Alors on voit facilement ça $f$ est continue par rapport à la norme $\overline p$ sur $C(X,\tau;Y)$ généré par $P$ et la métrique $d$ sur $Z$: Laisser $f\in C(X,\tau;Y)$ et $\varepsilon>0$. Par l'hypothèse de continuité sur$F$, Il y a un $P$-quartier $N$ de $f$ avec $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Laisser $U_p$ désigne la bille de l'unité ouverte dans $$C(X,\tau;Y)$$ par rapport à $p\in P$. Nous pouvons écrire$N=f+N_0$ pour certains $P$-quartier $N_0$ de $0$. De plus, il y a$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-compact $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ et $\delta_0>0$ avec $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Maintenant, laisse $\delta\in(0,1)$ avec $\delta\le\delta_0$. Ensuite,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ et donc $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ c'est à dire $f$ est continue à $f$ par rapport à la topologie localement convexe sur $C(X,\tau;Y)$ généré par $P$ et la métrique $d$ sur $Z$.
Sinon, le résultat aurait été suivi immédiatement en notant que la topologie générée par $P$ est plus grossière que la topologie générée par $\overline p$, comme discuté ici .
Maintenant si $X$ est une norme $\mathbb R$-espace vectoriel et $\tau$ la topologie est-elle générée par $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, puis $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ et donc la topologie générée par $\left\|\;\cdot\;\right\|$ est plus grossière que la topologie d'opérateur uniforme (c'est-à-dire la topologie générée par $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). Donc, nous obtenons immédiatement que$F$ est continue par rapport à la topologie générée par $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ et la métrique $d$ sur $Z$ ainsi que.