Montrez cela pour $a_i>0$ et $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [dupliquer]

Question

Montrez cela pour $a_i>0$ et $n \ge 2$ ce qui suit est vrai: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

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Je sais que le côté droit est en effet: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Ce qui peut s'écrire:

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Ce qui suit facilement le résultat. On peut aussi utiliser l'induction sur $n$: Le cas de base est vrai puisque $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

Supposons que la relation soit valable pendant $n$ et multipliez les deux côtés de la relation par $(1+a_{n+1})$:

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

Montre que la réclamation est valable pour tous $n \ge 2$.

Ce que j'ai fait est-il vrai et y a-t-il un meilleur moyen?

Answer 1

Si $a_k>0$, puis $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ De même, continuez à le faire à plusieurs reprises pour obtenir $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$