Montrez que si $a,b \in \mathbb{R}^n$, puis $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Montrez que si $a,b \in \mathbb{R}^n$, puis $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

Nous avons ça $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

et cela $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

cependant je ne vois pas comment je peux continuer à partir d'ici. Si je prends$||a||-||b||$ Je comprends ça $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

ce qui n'aide pas du tout. Qu'est-ce que je fais ici?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Par conséquent $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

De même nous avons $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Par conséquent $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

C'est $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Astuce sournoise: écrire $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, et utilisez directement l'inégalité triangulaire.

Answer 3

Comme @Siong Thye Goh a déjà fait la solution, je mentionnerai une chose.

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$\blacksquare~$ Revendication: pour tout sous-espace vectoriel $(X, \| \cdot \|)$ de $~\mathbb{K}^{n}$, nous avons l'inégalité suivante satisfaite. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Preuve: nous avons par$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} ensuite $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Par conséquent, nous avons cela $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

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Utiliser l'inégalité pour tout $x, x_0 \in X~$ pour $(X, \| \cdot \|)$ est un espace linéaire normé et $X$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^n$, nous avons une revendication très importante.

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$\bullet~$ Revendication: la carte$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$est continue ou en d'autres termes, la norme $\| \cdot \|$est continue.

$\bullet~$ Preuve: De la définition de la continuité que nous avons, pour tout$\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} du problème précédent, nous avons l'inégalité \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Laissez-nous choisir notre $\epsilon = \delta$. Par conséquent, nous avons\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Ce qui montre que la carte $\| \cdot \|$est continue à$x_{0}$. Comme$x_{0}$est arbitraire , alors la fonction$\| \cdot \|$est continue sur tout l'espace $X$.

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Cela rend la preuve importante de toute norme étant continue sur un sous-espace vectoriel de dimension finie de$\mathbb{K}^n$.

Pas lié à la question cependant, aucune intention de spam :)