Multiplicité géométrique pour les valeurs propres non nulles des matrices $AB$ et $BA$.

Question

Comme beaucoup d'informations sont données dans ce site sur les valeurs propres de $AB$ et $BA$ pour matrices carrées $A$ et $B$. Comme caractéristiques polynomiales de$AB$ et $BA$sont les mêmes, donc les deux ont le même ensemble de valeurs propres avec multiplicité. Maintenant, je veux en savoir plus sur la multiplicité géo-métrique et comme l'un des$AB$ et $BA$ peut devenir nul et autre pas même diagonalisable, donc je peux conclure que la multiplicité géométrique de la valeur propre $0$peut ne pas être égal. Maintenant qu'en est-il de la multiplicité géométrique des valeurs propres communes non nulles? Sont-ils les mêmes? c'est-à-dire si$a\neq 0$ alors pouvons-nous dire $$Geo.Mult_a(AB) =Geo.Mult_a(BA)? $$veuillez expliquer ou donner un contre-exemple. Merci.

Answer 1

Voici une explication quelque peu différente de l'égalité des dimensions des espaces propres de $AB$ et $BA$pour les valeurs propres non nulles que dans les autres réponses (jusqu'à présent); cela donne lieu au résultat un peu plus fort que les types Jordan (listes de tailles de blocs Jordan) sont également les mêmes pour les valeurs propres non nulles. Pour tout opérateur linéaire$T$ il y a un unique $T$-Sous-espace complémentaire stable$~W$ à l'espace propre généralisé pour la valeur propre$~0$. Il y a plusieurs manières de le décrire: sur un champ algébriquement clos,$W$est la somme (directe) de tous les autres espaces propres généralisés; c'est l'image de$T^k$ pour suffisamment grand$~k$ ($k=n$, la dimension de l'espace est certainement suffisante); si$Q$ est le quotient du polynôme caractéristique par tout facteur$~X$ il contient, alors $W=\ker(Q[T])$.

Maintenant, laisse $T$ être l'opérateur linéaire donné par $AB$ et laissez $W_0$ être ce sous-espace$~W$pour ça. Par construction, la restriction de$T$ à $W_0$ est inversible (n'a pas $0$comme valeur propre). Si$W_1$ est l'image de $W_0$ sous multiplication par $B$, nous avons des cartes linéaires $b:W_0\to W_1$ (donné par multiplication par $B$) et $a:W_1\to W_0$ (donné par multiplication par $A$) dont la composition $a\circ b$ est cette restriction inversible de $T$ à $W_0$, alors $a$ et $b$doivent chacun être inversibles. Commençant par$T'$ donné par $BA$ au lieu de $AB$, on voit que son sous-espace $W$ est en fait $W_1$. Maintenant la restriction$a\circ b$ de $T$ à $W_0$ est conjugué à la restriction $b\circ a$ de $T'$ à$~W_1$, depuis $ab=a(ba)a^{-1}$. Puisque tous les espaces propres (généralisés) pour les valeurs propres non nulles de$AB$ respectivement de $BA$ sont contenus dans $W_0$ respectivement $W_1$, on obtient le résultat souhaité.

Answer 2

C'est vrai. Laisser$x_1,x_2,\ldots,x_k$ être une base de l'espace propre de $AB$ correspondant à une valeur propre non nulle $\lambda$. ensuite$Bx_1,Bx_2,\ldots,Bx_k$ sont linéairement indépendants, pour, si $\sum_ic_iBx_i=0$, puis $\lambda\sum_ic_ix_i=A(\sum_ic_iBx_i)=0$ et donc tout $c_i$s valent zéro. Cependant, comme$BA(Bx_i)=B(ABx_i)=\lambda Bx_i$, chaque $Bx_i$ est un vecteur propre de $AB$ correspondant à la valeur propre $\lambda$. Par conséquent, la multiplicité géométrique de$\lambda$ dans $BA$ est supérieure ou égale à la multiplicité géométrique de $\lambda$ dans $AB$. L'inégalité inverse est également vraie si nous échangeons les rôles de$A$ et $B$Au dessus. Par conséquent, les multiplicités géométriques de$\lambda$ dans $AB$ et $BA$ sont identiques.

Answer 3

Allusion:

Si $\lambda \ne 0$ est une valeur propre de $AB$ et $BA$, vérifiez que les cartes linéaires $$\ker(AB-\lambda I) \to \ker (BA - \lambda I), \quad x \mapsto Bx$$ $$\ker(BA-\lambda I) \to \ker (AB - \lambda I), \quad x \mapsto Ax$$sont injectifs. Ça suit$\dim \ker (AB - \lambda I) = \dim \ker (BA - \lambda I)$.