N'existe-t-il pas vraiment d'analogue de la règle des produits dérivés pour les intégrales, ou nous n'en avons tout simplement pas encore trouvé?
Pour une règle produit pour les intégrales, je ne parle pas d'intégration par parties. Cette formule particulière utilise une intégrale de produits à l'intérieur de la formule elle-même. La règle du produit dérivé n'utilise pas de produit dérivé à l'intérieur de la formule. Je n'ai jamais vu un livre qui prouve qu'il n'y a en fait pas de formule analogue pour l'intégrale d'un produit. Certains livres prouvent qu'il n'y a pas de formule pour les racines d'un 5e degré général ou d'une fonction polynomiale supérieure. Quelqu'un peut-il prouver qu'une telle formule n'existe pas pour l'intégrale d'un produit? Il existe une formule pour l'intégrale d'une somme, alors peut-être que quelqu'un découvrira qu'il existe une formule pour l'intégrale d'un produit. Je m'excuse si ma notion de formule n'est pas assez précise, mais peut-être existe-t-il un livre qui définit précisément ce qu'est une formule.
Réponses
Je pensais qu'il y avait déjà une telle question ici, mais je ne l'ai pas trouvée.
Comme le disent les commentaires, il n'y a pas de formule simple pour $\int f g dx$ en terme de $\int f dx$ et $\int g dx$. Il existe de nombreuses façons de voir cela.
(UNE) $$ \int x\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x^2}\;dx\quad \text{are rational functions, but}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad\text{is not} . $$ (B) $$ \int x e^{x^2}\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad \text{are elementary functions, but}\quad\int e^{x^2}\;dx\quad\text{is not} . $$ Vous trouvez ce que signifie «formule simple», alors il devrait y avoir un exemple comme celui-ci utilisant cette notion de «formule simple».
Si nous recherchons un arbitraire $f(x)$ et $g(x)$, il n'y a que 2 dérivés combinés qui incluent le produit de ces fonctions (et leurs dérivés individuels): La règle du quotient et la règle du produit. Comme il est clair, nous ne divisons pas par$g^2(x)$, concentrons-nous sur la règle du produit: $$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
L'intégrale (indéfinie) représente l'anti-dérivé d'une fonction, qui peut être décrite comme: Trouvez une fonction qui, si elle est différenciée sur $x$donne la fonction à l'intérieur de l'intégrale. Si je suis correctement, vous voulez trouver un moyen qui nous permette de calculer une intégrale de la forme suivante:$$\int f(x)g(x)dx$$en tant que fonction sans le produit intégré des deux termes. Malheureusement, si l'on regarde la définition de la règle produit, on peut remarquer 2 choses: d'abord, il y a 2 produits et les deux produits contiennent les deux$f(x)$ et $g(x)$ou leurs dérivés. Par conséquent, vous êtes toujours coincé avec la déduction suivante:$$f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x)dx$$ $$f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)dx = \int f'(x)g(x)dx$$ Ce qui équivaut à la règle d'intégration par pièces et ne supprime pas l'intégrale du produit dans son équation.