$N(\frac{1}{2},2)=3$ pour les vecteurs dans un espace Hilbert

Question

Came across Cette question concernant le nombre maximum de vecteurs presque orthogonaux que l'on peut intégrer dans un espace de Hilbert. Ils déclarent que$N(\frac{1}{2},2)=3$, et cette construction explicite des vecteurs utilisant la sphère de Bloch le montre. Cependant, je n'arrive pas à comprendre ce qu'ils veulent dire par là. Leur autre exemple de$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$a un sens pour moi, car ce sont simplement les vecteurs propres des opérateurs pauli. Mais comment montrer que le nombre de vecteurs qui répondent aux critères suivants n'est que de 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Voici une façon très visuelle de penser à cela (je ne prétends pas que ce soit une preuve rigoureuse). Laisser$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Ceux-ci ont chacun des chevauchements de 1/2. Maintenant, dessinez-les sur la sphère Bloch. Ce sont trois vecteurs également espacés autour d'un grand cercle. Vous ne pouvez pas vous rapprocher l'un de l'autre car cela augmenterait leur chevauchement.

Maintenant, puis-je ajouter un quatrième vecteur? Quel que soit le vecteur que j'ajoute à la sphère, il doit faire un angle de$\pi/2$ ou moins avec l'un des vecteurs existants, et aurait donc un chevauchement $1/\sqrt{2}$ou plus grand. Donc, au moins pour ce choix de trois vecteurs, je ne peux pas en ajouter un quatrième et maintenir la valeur de$\epsilon$.

Avec cette image à l'esprit, vous pouvez probablement aussi vous convaincre que ces vecteurs doivent être sélectionnés de cette façon.$|V_1\rangle$est arbitraire, je peux simplement orienter la vue pour qu'elle soit au sommet de la sphère. Pour$|V_2\rangle$ J'ai une liberté arbitraire de rotation sur le $V_1\rangle$axe, donc j'ai juste choisi la composante orthogonale pour être réelle et positive. À ce stade, mon choix de$|V_3\rangle$ a été corrigé - il n'y avait qu'un seul choix possible qui pourrait avoir le chevauchement correct.

Si la version visuelle ne le fait pas pour vous, je suis sûr que quelqu'un formalisera cela mathématiquement ...