Négation de «si A alors B» (comment prouver que «si A alors B» est faux)
Je sais que ce sujet a déjà été abordé, mais je n'ai toujours pas trouvé de réponse à ma question particulière.
Je sais que la négation de "Si A alors B" est "A et PAS B".
Mais je voulais des éclaircissements et ce qui détermine vrai / faux pour l'énoncé A et PAS B.
Par exemple, supposons que l'instruction "si A alors B" est vraie. Ensuite, à ma connaissance, il s'ensuivrait que "A et PAS B" doit toujours être faux.
Cependant, supposons que l'instruction "si A alors B" est fausse. Alors l'énoncé «A et PAS B» serait-il toujours vrai? Ou est-ce qu'il y a au moins un cas où "A et PAS B" est vrai?
Juste pour rendre ma question encore plus claire, si je voulais prouver que "si A alors B" était effectivement faux, aurais-je besoin de montrer que "A et PAS B" est toujours vrai, ou est-ce suffisant de montrer un seul cas où c'est vrai?
Merci!
Réponses
Par exemple, supposons que l'instruction "si A alors B" est vraie. Ensuite, à ma connaissance, il s'ensuivrait que "A et PAS B" doit toujours être faux.
Être vrai est différent d'être une tautologie, il ne s'ensuit donc pas que "A et PAS B" doit toujours être faux. Supposons plutôt que "si A alors B" est une tautologie, cela implique que sa négation doit toujours être fausse, c'est-à-dire une contradiction.
Eidt: C'est correct si vous voulez dire "A et PAS B", toujours faux dans les cas où "si A alors B" est vrai.
Cependant, supposons que l'instruction "si A alors B" est fausse. Alors l'énoncé «A et PAS B» serait-il toujours vrai? Ou est-ce qu'il y a au moins un cas où "A et PAS B" est vrai?
Si nous savons que "si A alors B" est faux dans certains cas fixes, alors "A et PAS B" doit être vrai dans ces cas, et si ces cas couvrent tous les cas possibles, alors oui que
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Cependant, quand nous disons "si A alors B" est faux, cela signifie normalement que c'est faux dans certains cas spécifiques, disons le cas C. C'est vrai there is at least one case where "A and NOT B" is true. Soyez précis, car c'est vrai dans le cas C.
Juste pour rendre ma question encore plus claire, si je voulais prouver que "si A alors B" était effectivement faux, aurais-je besoin de montrer que "A et PAS B" est toujours vrai, ou est-ce suffisant de montrer un seul cas où c'est vrai?
Si nous voulons prouver que "si A alors B" est effectivement faux dans certains cas C, alors il suffit de montrer que dans le cas C "A et PAS B" est vrai.
Pour la même raison, si nous voulons prouver que "si A alors B" est toujours faux, alors nous devons montrer que "A et PAS B" est toujours vrai.
Regardons la table de vérité de $A \rightarrow B$, nous avons $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
Le seul cas à obtenir $False$ la valeur est quand $A$ est $True$ et $B$ est $False$. Donc, pour obtenir ce résultat, il vous suffit de montrer que$B$ est $False$. J'espère que ça t'as aidé
Voici la table de vérité pour $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Comme vous pouvez le voir, c'est toujours vrai.
L'implication logique est souvent définie comme:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Cette équivalence peut également être formellement prouvée à partir des premiers principes en utilisant une forme de déduction naturelle:
