Nombre de façons d'attribuer des scores

Question

Un test composé de $12$ les questions sont notées avec $200$points. De combien de façons le$200$ des points soient attribués si chaque question doit valoir au moins $10$ points mais pas plus de $25$ et les scores doivent être un multiple de $5$?

Je pense à une combinaison possible avec la répétition. $15$ points ($80/5$) hors de $12$des questions. Mais je ne sais pas comment appliquer la restriction maximale de$25$.$3$ à chaque question $\frac{25-10}{3}$.

Mais ce n'est peut-être pas non plus une combinaison avec la répétition, car j'interprète la déclaration comme signifiant que peu importe si la première question vaut $30$ points et le second vaut $10$, ce qui est l'inverse. Je comprends que cet exemple spécifique est une manière unique, n'est-ce pas?

Answer 1

Puisque chaque score doit être un multiple de $5$, nous pourrions aussi bien diviser toutes les valeurs de points par $5$ et avoir $12$ questions valant un total de $40$ points, chaque question vaut au moins $2$ et au plus $5$points. Si$p_k$ est la valeur en points du $k$-ème question, nous recherchons le nombre de solutions pour

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

en nombres entiers $p_k$ remplissant la condition que $2\le p_k\le 5$ pour $k=1,\ldots,12$. Laisser$x_k=p_k-2$ pour $k=1,\ldots,12$; puis le nombre de solutions pour$(1)$ sous réserve de la restriction indiquée est le même que le nombre de solutions pour

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

en entiers non négatifs $x_k$ remplissant la condition que $x_k\le 3$ pour $k=1,\ldots,12$. S'il n'y avait pas la limite supérieure des nombres$x_k$, ce serait un problème standard d' étoiles et de barres , et il y aurait$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$d'eux. Malheureusement, bon nombre de ces solutions ne respectent pas la limite supérieure d'un ou plusieurs des nombres$x_k$, donc $\binom{27}{11}$est une surestimation importante. Pour corriger cela, vous devrez effectuer un calcul d'inclusion-exclusion. Ma réponse à cette question inclut un tel calcul; essayez de l'utiliser comme modèle pour compléter la solution de votre problème.

Answer 2

Puisque tous les scores sont un multiple de $5$ nous pouvons diviser par elle, résultant en $40$ total de points et scores aux questions de $2$ à $5$points. Puisque chaque question doit être au moins$2$ points, nous pouvons considérer les questions comme tenant $24$ "points de base", laissant le problème du nombre de manières de distribuer $16$ "points supplémentaires" au $12$ questions sans aucun doute ayant plus de $3$ d'eux.

En tant que problème de fonction génératrice, c'est le $x^{16}$ coefficient de $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. Et la réponse s'avère être$1501566$.