Où est l'erreur dans cette «preuve» que 3 = 0? [dupliquer]
J'ai vu cette vidéo (lien en bas), avec une supposée "preuve" que$3=0$. Cela se passe comme suit:
Laisser $x$ être une solution de $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Depuis $x\neq0$, nous pouvons diviser les deux côtés par $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
De $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Remplacer $x+1=-x^2$ dans $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Remplacer $x=1$ dans $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
L'explication donnée dans la vidéo est
Remplacer $x+1=-x^2$ dans $(2)$ crée la solution étrangère $x=1$ ce qui n'est pas une solution à l'équation d'origine $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Équations$(1)$ et $(2)$ avoir des solutions $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, mais après la substitution, l'équation $(3)$ a ces deux solutions et $1$.
Fondamentalement, il dit que le problème consiste à remplacer $x+1=-x^2$, mais je ne sais pas si c'est réellement le problème. Comment une substitution peut-elle causer un problème si tout avant la substitution est correct?
Après avoir lu les commentaires, j'ai réalisé que beaucoup d'entre eux disent que le vrai problème est $(4)$, car $1=x^3$ pourrait aussi signifier que $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Ne pas considérer ces solutions est le problème de la «preuve». Il faut également vérifier ces solutions avant de tirer des conclusions et "choisir" celle qui est correcte.
Ma question est donc de savoir quel est le problème avec la "preuve" ci-dessus que $3=0$?
Vidéo: «Prouver» 3 = 0. Pouvez-vous repérer l'erreur? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Réponses
Le problème est $x^3=1$ n'implique pas que $x=1$. L'équation$x^3-1=0$ a trois racines possibles et la racine $x=1$ est une racine générée en plus.
Substituer un membre d'une équation en lui-même peut introduire des solutions étrangères.
Par exemple $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
Vous pouvez le faire, à condition de conserver également l'équation initiale.
Les opérations sûres sont:
ajouter un terme aux deux membres;
multiplier les deux membres par un facteur différent de zéro;
appliquer une transformation inversible aux deux membres.
Tout le reste (par exemple la mise au carré des deux membres) doit être fait avec soin.
La substitution est capable de provoquer une racine étrangère car c'est une étape irréversible. Autrement dit, il est clair que si$x^2 + x + 1 = 0$, ensuite nous avons $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, et par substitution, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Cependant, l'inverse n'est pas vrai: si $-x^2 + 1/x = 0$, alors il ne tient pas nécessairement que $-x^2 = x+1$, d'où il découlerait que $x^2 + x + 1 = 0$.
En effet, on voit que c'est ainsi que la solution $x = 1$ s'intègre: il satisfait $-x^2 + 1/x = 0$, mais non $-x^2 = x+1$.
Autre perspective: la substitution peut se résumer à la multiplication suivante: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Multiplier $x^2 + x + 1$ par un autre facteur a donné au polynôme une autre racine.
Laisser $x\ne0$. ensuite
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$est vrai. Mais
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$n'est pas* ! La conséquence logique n'est que de gauche à droite.
Comme indiqué sur le graphique, les courbes de $-x^2$ et $-\dfrac1x$ se croisent, mais pas avec $x+1$. En assimilant les deux RHS ci-dessus, vous perdez des informations et introduisez des non-solutions.
* Si vous y pensez, ce serait comme dire
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ peu importe $c$.