Paire de L-tromino!

Aug 15 2020

Amy joue avec différents polyominos. Elle pense soudain à un problème comme suit.

Choisissez deux entiers positifs $m,n$. Si nous ne pouvons utiliser que des L-trominos pour tesseller un$m\times n$ rectangle sans espaces, chevauchements ou tout carré dépassant les rectangles, alors nous appelons la paire $(m,n)$ Paire de L-tromino.

Elle appelle son frère Ben et le génie et essaie de trouver toutes les paires de L-tromino. Le génie est super intelligent et les a tous trouvés avec une preuve. Peut tu?


Problème par moi-même.


Voici une photo de L-tromino, si vous voulez la voir:

Réponses

6 JaapScherphuis Aug 15 2020 at 13:16

Évidemment, les deux dimensions d'un rectangle à carreler doivent être au moins $2$. De plus, puisque la zone d'un tromino est$3$, l'aire d'un rectangle à carreler est un multiple de $3$, et par conséquent au moins une des dimensions est un multiple de 3.

Premièrement, quelques cas faciles:

$3k\times2n$: Deux tromino forment un $3\times2$rectangle. Par conséquent, tout$3k\times2n$ rectangle peut être carrément carrémenté.

$6k\times(2n+3)$: Ce rectangle se divise en un $6k\times3$ et un $6k\times2n$ rectangle, qui sont tous deux des instances du cas trivialement carrossable ci-dessus.

Le cas le plus délicat est celui-ci:

Les cas ci-dessus concernent tous les rectangles où l'une des dimensions est paire. Il ne reste donc plus que ceux aux dimensions étranges.

$9\times5$: Ce rectangle peut être carrelé:



$(6k+9) \times (2n+5)$: Tout rectangle avec des dimensions impaires, une dimension un multiple de 3 et pas plus petit que $9\times5$, peut être carrelé. Vous pouvez vêler un rectangle de taille$6k\times(2n+5)$ qui a déjà été montré pour être carrelable pour le réduire à $9\times(2n+5)$. Vous pouvez ensuite vêler un rectangle de taille à carreler$9\times2n$, laissant le carreler $9\times5$.

Il ne reste plus qu'à montrer que$3\times(2n+1)$n'est pas carrelable. C'est assez évident lorsque vous l'essayez. Les seules façons dont vous pouvez remplir le bord court du rectangle créeront un$3\times2$bloquer. Par conséquent, le rectangle se réduit inévitablement à ce que l'on peut$3\times1$forme.

Pour rappel, les paires de L-tromino sont$(m,n)$$m,n\ge2$, au moins un des $m$ ou $n$ est divisible par 3, et s'ils sont tous les deux impairs, alors $m,n\ge5$.