Positivité d'un opérateur

Question

Considérez une fonction$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$de classe$C^1$. Si$f(0)=0$et$f'(0)>0$c'est clair qu'il en existe$t_0>0$tel que$f(t_0)>0$.

Maintenant si$f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$de classe$C^1$, où$\mathcal{M}^{n\times n}$sont réels$n\times n$matrices, si$f(0)=0$et si$f'(0)$est une matrice définie strictement positive, encore une fois il y aura un$t_0$tel que$f(t_0)$est une matrice définie strictement positive.

La question est, est-ce vrai même pour les opérateurs ? En particulier, laissez$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$de classe$C^1$, où$\mathcal{O}$est l'ensemble des opérateurs auto-adjoints compacts sur un espace de Hilbert séparable$\mathcal{H}$. Laisser$f(0)=0$et supposons que$f'(0)$est un opérateur auto-adjoint positif compact, est-il vrai qu'il doit y avoir un$t_0$tel que$f(t_0)$est positif ?

Answer 1

Non. Contre-exemple : Soit$H = \ell^2$et$M : H \to H$être donné par

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Alors$M$est compact (limites des opérateurs de rang fini), auto-adjoint et positif. Laissez ensuite$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$être une fonction impaire lisse telle que

• $\varphi(t) = t$sur$[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$diminue sur$[1.1, 2]$et
• $ \varphi(t) = 0$sur$[2, \infty)$.

Pour chaque$n$, définir$\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Définir$ M_t:=f(t)$par$$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Alors$M_0 = 0$et chacun$M_t$est auto-adjoint, de rang fini (donc non positif). Aussi,$f$est$C^1$. En effet on peut vérifier que$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$Depuis$\varphi_n'(0)=1$pour tous$n$, Nous avons$f'(0) = M$.