Pourquoi$8^{\frac{1}{3}}$est$1$,$\frac{2\pi}{3}$, et$\frac{4\pi}{3}$

Question

La question est:

Utilisez le théorème de DeMoivre pour trouver$8^{\frac{1}{3}}$. Exprimez votre réponse sous une forme complexe.

Sélectionnez-en un :

un. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/3)

ré. 2 cis ($\pi$/3), 2 cis ($\pi$/3)

e. Aucun d'eux

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je pense que$8^{\frac{1}{3}}$est$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

Et,$r = 8$

Et,$8\cos \theta = 8$et$\theta = 0$.

Alors,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

je viens d'avoir seulement$2$. Où et comment les autres$\frac{2\pi}{3}$, et$\frac{4\pi}{3}$viens de?

Answer 1

Nous pourrions le regarder comme ceci :
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Maintenant pour différentes valeurs de$k$, nous avons différentes réponses : (ici$n$est$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Vous pourriez lire sur$n^{\text{th}}$racines de l'unité sur Wikipédia pour avoir une meilleure image

Answer 2

Laisser$z^3=8$.

Ainsi,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$qui donne$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$ou$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

Answer 3

Ici,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

donc pour$k=1$,$k=2$on a$\frac{2\pi}{3}$et$\frac{4\pi}{3}$

Ou prenez :$$8^{1/3}=x$$Ensuite, nous obtenons,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Ensuite, nous obtenons nos racines désirées.

Answer 4

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

ici$\omega$est la racine cubique de l'unité