Pourquoi cette séquence n'est-elle pas uniformément convergente?
Dans ce problème est expliqué que $f_n(x)$est une convergence ponctuelle, mais pas uniformément convergente. L'explication de la non-convergence uniforme est également donnée. Cependant, je ne peux pas le comprendre, lorsque j'utilise le théorème ci-dessous, j'obtiens cette limite de$f_n - f = 0$ Peut-être quelqu'un pourrait-il me donner une réponse plus détaillée pourquoi la séquence est uniformément convergente?
Réponses
Depuis $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, vous avez $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. En d'autres termes,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$et, en particulier, il n'est pas vrai que$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Ainsi, la convergence n'est pas uniforme.
Tout d'abord, vous devez déterminer la limite ponctuelle . Laisser$x\in[0,1]$. Pour$n>1/x$, $f_n(x)=0$, donc la limite ponctuelle est $0$.
Comme le montre l'explication, nous avons $\|f_n\|_\infty=n/4$. Donc,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ et en utilisant le théorème que vous avez cité, la limite du suprema divergeant équivaut à $f_n$ ne converge pas uniformément.
Par définition de convergence d'une suite dans un espace normé (ou en espace métrique général) la suite (fn) ne peut pas converger vers f car norme (ici c'est sup-norme) de (fn - f)> = 1/4 pour tout n.