Pourquoi est-ce$x(t)$pas périodique mais$x[n]$est?
J'étudie les signaux et les systèmes et je suis tombé sur ce problème.
Par définition,$x(t)$désigne un signal en temps continu et$x[n]$désigne un signal à temps discret.
$x(t)$est périodique s'il existe une constante$T>0$tel que$x(t) = x(t+T)$pour tous$t$est un sous-ensemble de nombres réels.
$x[n]$est périodique s'il existe une constante$N>0$tel que$x[n] = x[n+N]$pour tous$n$est un sous-ensemble d'entiers.
Puis je suis tombé sur cette question : pourquoi est-ce$x(t)$apériodique ?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
Le travail que j'ai effectué est le suivant :
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Présumer$x(t) = x(t+T)$
c'est à dire$(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Considérant$k$est un entier, n'est-ce pas périodique ? Merci de me dire si mon calcul est faux.
Toutes mes excuses si je poste un sujet qui n'est pas pertinent et merci pour vos commentaires.
Réponses
Vous avez montré* :
Si$x(t)$est périodique, alors il y a$T>0$tel que$\dfrac{T^2+2tT}{16}$est un entier pour tout réel$t$.
*Edit : Comme l'a souligné @SHW dans les commentaires, ce n'est pas tout à fait vrai. Il faudrait plutôt
$x(t)$est périodique si et seulement s'il existe$T > 0$telle qu'au moins une de$\dfrac{T^2+2tT}{16}$ou$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$est un entier pour tout réel$t.$
Depuis$T \neq 0$, il devrait être assez évident qu'il y aura des$t$telle qu'aucune de ces expressions ne donne un entier, montrant que$x(t)$n'est pas périodique.
Pour le prouver, notez que, pour chaque entier$k$, il existe un réel unique$t$tel que$\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$et au plus deux nombres réels$t$tel que$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$Puisqu'il y a un nombre incalculable d'entiers, il y a un nombre innombrable$t$telle qu'au moins une de$\dfrac{T^2+2tT}{16}$ou$\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$est un entier. Puisqu'il existe un nombre incalculable de nombres réels, il doit y avoir des nombres réels$t$de sorte qu'aucune des expressions ne donne un entier.
Comme je l'ai mentionné plus haut, cela montre$x(t)$n'est pas périodique.
D'autre part, nous pourrions définir par exemple$T=8$pour voir ça$\dfrac{T^2+2tT}{16}$est un entier chaque fois que$t$est un entier, montrant$x[n]$est périodique.
Laisser$x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Si$x(t)$est périodique avec$T$alors il existe$T \gt 0$tel que$x(t) = x(t+T)$pour tous$t \in \mathbb{R}$. Donc dans ce cas on a$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Si$t = 0$alors$\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Différencier les deux côtés et laisser$t = 0$Nous avons$$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$Ça veut dire$T = 0$ou$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Le premier cas n'est pas autorisé, nous concluons donc que$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Si nous différencions deux fois et encore laissons$t = 0$alors$$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$La combinaison des résultats conduit à la$T = 0$ce qui n'est pas autorisé selon$T \gt 0$. La motivation pour utiliser la différenciation ici est que$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$qui nous aide à obtenir$T$hors de$\cos$fonction et aboutit à une contradiction. Bien sûr, la réponse de Brian est beaucoup plus élégante et ne nécessite pas de calculs dérivés.