Pourquoi est-il important d'écrire une fonction sous forme de somme de fonctions paires et impaires?
Pour la fonction $f(x)$ nous pouvons l'écrire comme une somme de fonctions paires et impaires:
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
Ma question est pourquoi il est important pour nous d'écrire une fonction comme somme de ces deux fonctions paires et impaires? Y a-t-il une application à cela?
Réponses
Quand j'étais lycéen, je pensais que la décomposition paire / impaire sur laquelle vous écrivez semblait assez particulière et pas si fondamentale. Après avoir appris plus de mathématiques, j'ai réalisé que la méthode sous-jacente (extraire des «pièces symétriques» en calculant la moyenne et ce que vous pourriez appeler l'anti-moyennage) est en fait un exemple très simple de deux processus importants en mathématiques: les décompositions de l'espace propre et la moyenne sur un groupe pour extraire symétrique morceaux d'une fonction (ou d'un vecteur, etc. ). Ce que j'écris ci-dessous ne vise pas à vous donner de nouvelles situations où votre décomposition paire / impaire aide à résoudre un problème de calcul, mais à vous montrer de nombreux autres exemples de la même idée afin que vous voyiez qu'elle se produit assez largement en mathématiques.
Dans presque toutes les situations où il y a une opération qui se répète deux fois pour être l'opération d'identité, vous obtenez un analogue de la décomposition paire / impaire. Voici trois exemples.
La matrice transpose (où $M^{\top\top} = M$) conduit à l'expression d'une matrice carrée comme une somme de matrices symétriques ($M^\top = M$) et asymétrique ($M^\top = -M$) $$ A = \frac{A + A^\top}{2} + \frac{A - A^\top}{2} $$
Conjugaison complexe (où $\overline{\overline{z}} = z$) donne un point de vue de type "pair / impair" sur l'écriture d'un nombre complexe sous forme standard est $a+bi$, puisqu'il s'agit de la somme d'un nombre réel (ajustement $\overline{w} = w$) et un nombre purement imaginaire (ajustement $\overline{w} = -w$): $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z - \overline{z}}{2} = a + bi $$ où $z = a + bi$ et $\overline{z} = a - bi$.
L'opérateur de swap sur les fonctions ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) ou des tenseurs ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) conduit à l'expression d'une fonction ou d'un tenseur comme une somme de fonctions ou tenseurs symétriques et antisymétriques: $$ f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2} $$ et $$ v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w - w \otimes v}{2}. $$ Cela a un rôle en mécanique quantique, où il sous-tend la distinction entre les bosons (ayant des fonctions d'onde symétriques) et les fermions (ayant des fonctions d'onde antisymétriques).
J'ai dit que dans presque toutes les situations, vous obtenez quelque chose comme une décomposition paire / impaire parce que parfois l'une de ces parties est nulle et donc inintéressante. Par exemple, une rotation de 180 degrés$R$ de l'avion a $R(v) = -v$ pour tous $v$ dans $\mathbf R^2$, alors ici tout l'espace "a l'air bizarre" sous l'effet de $R$. Aucun vecteur dans$\mathbf R^2$ est fixé par une rotation de 180 degrés sauf pour l'origine.
L'utilisation de "commande $2$"Ici, l'algèbre reste très simple, mais nous pouvons aussi considérer des symétries d' ordre supérieur plutôt que des symétries d'ordre 2. Considérons pour chaque$n \geq 1$ essayer de décomposer une fonction $f:\mathbf C \to \mathbf C$ comme une somme de fonctions $f_k(z)$ qui sont «tordus» par $k$th puissances sous mise à l'échelle intérieure par un $n$ème racine de l'unité: $f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$ pour tous $n$les racines de l'unité $\zeta$ (ou de manière équivalente juste $\zeta = e^{2\pi i/n}$) et tous les nombres complexes $z$, où $0 \leq k \leq n-1$. L'affaire$n=2$ les fonctions paires / impaires sont-elles activées $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ moyens $f_0$ est une fonction uniforme et $f_1(-z) = -f_1(z)$ moyens $f_1$est une fonction étrange). Prise$n = 4$, on peut essayer de décomposer chaque fonction $f:\mathbf C \to \mathbf C$ comme une somme de quatre fonctions $$ f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z) $$ où $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$, et $f_3(iz) = -if_3(z)$ pour tous $z \in \mathbf C$.Voici des formules pour chacune des fonctions: $$ f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4}, $$ $$ f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4}, $$ $$ f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4}, $$ $$ f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}. $$ Ces formules de moyenne sont des généralisations des formules que vous avez écrites pour déterminer les parties paires / impaires d'une fonction $\mathbf R \to \mathbf R$. Et cela est utile dans l'analyse de Fourier, puisque la transformée de Fourier sur les fonctions a de l'ordre$4$.
Les idées présentées ici s'étendent encore plus loin à la décomposition d'une représentation d'un groupe fini comme somme de représentations irréductibles. Pour le groupe d'ordre cyclique$2$il y a deux représentations irréductibles, et cela se reflète dans l'apparition de fonctions paires et de fonctions impaires dans votre formule. Ainsi, la décomposition paire / impaire des fonctions de votre question est un cas particulier d'une idée vraiment importante en mathématiques. Ce n'est pas seulement une «astuce» pour résoudre des problèmes de calcul artificiel.
Une application vraiment intéressante pour cette décomposition (que j'ai vue sur la chaîne YouTube "Flammable Maths") évalue les intégrales du formulaire $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx$$ où $t,a>0$ sont des constantes, $E(x)$ est une fonction paire (continue), et $O(x)$est une fonction impaire (continue). Si vous définissez$f(x)=\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}$ et écrire $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ vous pouvez dire ça $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\Bigg)dx+\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\Bigg)dx$$La dernière intégrale sur le RHS disparaît puisque nous intégrons une fonction impaire sur un domaine symétrique. Avec un peu d'algèbre$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}E(x)$ nous donnant le résultat génial $$\int_{-a}^a\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}dx=\int_{0}^aE(x)dx$$ce qui est vraiment cool! Cela signifie que nous pouvons dire quelque chose comme$$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4-x^2+1}{1+3^{\sin^2(x)\tan(x)+x^5+x}}\Bigg)dx=\int_0^1\big(x^4-x^2+1\big)dx=\frac{13}{15}$$ Cela peut également être utilisé pour calculer des doubles intégrales assez désagréables! $$\int_0^1 \int_{-x^2}^{x^2}\Bigg(\frac{xy^2+x^3}{1+3^{x\tan^{11}(y)+e^x\sin^7(y)}}\Bigg)dydx=\int_0^1 \int_0^{x^2}(xy^2+y^3)dydx=\frac{5}{24}$$ Aimer.
Edit : Cette technique d'intégration se généralise en fait aux intégrales du formulaire$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx$$ où $E_1(x),E_2(x)$ sont des fonctions arbitraires (continues) même $O(x)$est une fonction impaire arbitraire (continue). En utilisant exactement la même procédure décrite ci-dessus, nous pouvons dire$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{0}^aE_1(x)dx$$ ce qui signifie $$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4+x^2+1}{1+\big(x^2e^{-x^4}+\cos(x)\sin(x^2)\big)^{x^2\tan(x^3)+x}}\Bigg)dx=\int_0^1(x^4+x^2+1)dx=\frac{23}{15}$$
La réponse de KCd mentionne au passage ce dont je vais parler, mais je vais m'étendre là-dessus: la réponse courte est l'analyse de Fourier .
La division d'une fonction en composants pairs et impairs est une technique de résolution de problèmes extrêmement utile lorsque vous travaillez avec la transformée de Fourier et la série de Fourier associée . Une fonction qui est purement paire ou purement impaire est plus facile à trouver la transformée de Fourier / la série de.
Cela peut sembler être un sujet de niche, mais l'analyse de Fourier est l'une des techniques mathématiques les plus puissantes et les plus largement utilisées. Vous ne pouvez pas aller loin dans n'importe quel domaine STEM sans le rencontrer, et donc faciliter l'analyse de Fourier est plus important que vous ne le pensez.
Il existe une mine de connaissances sur Internet sur ce qu'est l'analyse de Fourier et son fonctionnement, je ne le répéterai donc pas ici. J'ai trouvé cette vidéo YouTube comme une bonne introduction au sujet.
Un exemple célèbre de décomposition en fonctions paires et impaires est donné par la formule d' Euler \begin{align*} \color{blue}{e^{iz}}&\color{blue}{=}\color{blue}{\cos z+i\sin z}\\ &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\qquad\qquad z\in\mathbb{C}\\ \end{align*} qui est utilisé dans de nombreuses applications.