Pourquoi le fait que nous puissions forcer l'hypothèse du continuum ne prouve-t-il pas catégoriquement l'hypothèse du continuum?

Aug 18 2020

Je lis Forcing for Mathematicians de Nick Weaver et au chapitre 12 ("Forcing CH") il commence par ceci (p. 45 - 46):

(Tout ici est relativisé à $M$ - qui dans son livre est un modèle de ZFC).

Laisser $P_1$ être l'ensemble de toutes les fonctions partielles de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ à $\aleph_1$ (qui est une notion de forçage) et laissez $G$ être un idéal générique de $P_1$. Puisque les éléments de$G$ sont des fonctions qui doivent être cohérentes (puisque $G$ est un idéal) vous pouvez en prendre l'union pour construire une fonction $\tilde{f}$ à partir d'un sous-ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ à un sous-ensemble $\aleph_1$.

Il prouve alors que:

$\tilde{f}$ est une bijection (pas seulement une fonction) à partir d'un sous-ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ à un sous-ensemble $\aleph_1$ puisque la correction de bijections cohérentes ensemble vous donne une bijection.
Le domaine de $\tilde{f}$ est tout de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ depuis $G$ est générique.
La gamme de $\tilde{f}$ est tout de $\aleph_1$ depuis $G$ est générique.

Autant que je sache donc, étant donné n'importe quel modèle $M$ de ZFC (c'est-à-dire tout ensemble pour lequel ZFC tient), il y a une bijection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ à $\aleph_1$ et donc l'hypothèse du continuum est vraie.

Je sais qu'il continue à parler de $M[G]$ mais, pour autant que je sache, tout $M[G]$ est juste un autre modèle de ZFC et aurait très bien pu être l'ensemble que nous avons choisi $M$.

Réponses

9 AsafKaragila Aug 18 2020 at 01:11

Mais la bijection $\widetilde f$ n'est pas dans $M$, exactement. C'est dedans$M[G]$. Ce que vous avez montré est simplement que pour chaque modèle de$\sf ZFC$, il existe un modèle plus grand dans lequel $\sf CH$ est vrai.

Pour voir ça en effet $\widetilde f\notin M$, notez que pour toute fonction$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, il existe un ensemble dense de conditions $p$ tel que $p\nsubseteq g$. Par conséquent par généricité,$\widetilde f\neq g$. Si$\widetilde f$ n'est égal à aucune fonction dans $M$, alors ça ne peut pas être dans $M$.

(C'est, plus largement, la raison pour laquelle chaque fois qu'un forçage n'est pas trivial, il n'y a pas de filtres génériques dans le modèle au sol.)

7 ChrisEagle Aug 18 2020 at 01:12

La clé ici est que $G$ doit être générique sur $M$, et par conséquent $G \not\in M$.

Comme vous l'avez remarqué, si vous pouvez faire un modèle de ZFC qui contient $G$ et qui est d'accord avec $M$ sur quoi $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ et $\aleph_1$sont, alors dans ce modèle, CH tiendra. Forcer nous dit comment construire un tel modèle, et donc nous montre que, étant donné un modèle$M$nous pouvons faire un modèle où CH tient. Cela nous permet de montrer la cohérence relative de ZFC + CH, mais cela ne prouve pas CH.

5 NoahSchweber Aug 18 2020 at 15:15

Permettez-moi d'ajouter quelques points aux réponses existantes:

Premièrement, il y a un point clé qui n'a pas été mentionné dans les réponses existantes: il est important de noter que les génériques n'existent pas toujours . Nous ne sommes garantis d'existence que lorsque$M$est dénombrable . Donc la déclaration

Chaque $M\models\mathsf{ZFC}$ est un sous-modèle de certains $N\models\mathsf{ZFC+CH}$

n'est pas vraiment vrai - nous devons nous limiter à dénombrable $M$s. En effet, si$\mathsf{CH}$ est faux en réalité alors il y en a $M$ sans extension satisfaisante $\mathsf{CH}$: à savoir, tout modèle contenant tous les réels.

Quelques commentaires secondaires:

"Chaque dénombrable $M\models\mathsf{ZFC}$ est un sous-modèle de certains dénombrables $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" est vrai - nous n'avons pas besoin de ces modèles dénombrables pour être bien fondés! Ce n'est pas évident, mais ce n'est pas difficile à montrer et c'est un bon exercice pour" gérer toutes les récurrences en interne ".
On peut parler de forcer les extensions de modèles arbitraires (et en effet$V$lui-même!) via l' approche du modèle à valeur booléenne du forçage. C'est l'approche adoptée par Jech, par exemple. Cependant, bien que fascinant et important, il est également à mon avis sensiblement moins intuitif que l'approche poset.

Deuxièmement, pour la valeur pédagogique, permettez-moi de donner un exemple où l'importance de $G\not\in M$ est plus évidente, à savoir l'effondrement de Levy $Col(\omega,\omega_1)$.

$Col(\omega,\omega_1)$ est le forçage le plus simple pour faire $\omega_1$ dénombrable: il se compose de fonctions partielles finies $\omega\rightarrow\omega_1$, commandé par extension inverse comme prévu. Depuis pour chacun$\alpha\in\omega_1$ l'ensemble $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ est dense, un générique $G$ (ou plutôt l'union des conditions dans un tel $G$) est une surjection de $\omega$ à $\omega_1$.

Plus précisément, et en nous limitant aux modèles transitifs dénombrables pour plus de simplicité, nous avons:

Si $M$ est un modèle transitif dénombrable de $\mathsf{ZFC}$ et $G$ est $Col(\omega,\omega_1^M)$-générique sur $M$ puis $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.

Mais contrairement à $\mathsf{CH}$, il est évident que nous ne pouvons pas avoir de phénomène du "même modèle": il n'y a pas $M\models\mathsf{ZFC}$ tel que $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Donc, considérer cet exemple en premier peut vous aider à comprendre pourquoi la force ne peut pas impliquer la vérité en général.

Enfin, permettez-moi de terminer sur une note positive. Malgré ce qui précède, il y a des moments où la "force" d'une peine implique sa pure vérité: