Pourquoi le nombre de$\mathbb{F}_q$points sur degré$d$courbes$C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$diminuer comme$n$augmente ?
Cette question concerne certains résultats contre-intuitifs (pour moi du moins) concernant le nombre de points sur une courbe projective sur un corps fini. A savoir, si l'on fixe le degré de la courbe, mais augmente la dimension de l'espace projectif ambiant, on peut obtenir des bornes plus serrées sur le nombre de$\mathbb{F}_q$points sur la courbe, bien qu'il y ait un plus grand nombre de$\mathbb{F}_q$points dans l'espace ambiant. Permettez-moi de préciser cela avec deux exemples.
Laisser$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$être une courbe projective de degré$d$. Supposer$C$est non dégénéré dans le sens où il n'est contenu dans aucun espace projectif plus petit$\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$,$k<n$.
Le travail de Homma (prolongement du travail de Homma et Kim) a montré$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$à une seule exception (jusqu'à l'isomorphisme) sur$\mathbb{F}_4$. C'est le soi-disant Sziklai lié, et est serré pour$n=2$.
Cette borne n'est pas serrée pour$n>2$; récemment Beelen et Montanucci montrent que si$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$est non dégénéré alors en fait$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$Ils conjecturent plus loin que si$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, la borne générale doit être$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Cela rappelle un phénomène issu des travaux de Bucur et Kedlaya. Par exemple : une courbe lisse aléatoire dans$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$est censé avoir$$q+1$$points sur$\mathbb{F}_q$à mesure que son degré croît jusqu'à l'infini. Une intersection complète aléatoire de deux degrés lisses$d$surface dans$\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$est censé avoir$$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$points sur$\mathbb{F}_q$, encore comme$d\to\infty$.
Ces résultats sont contre-intuitifs pour moi, car le nombre de points dans l'espace projectif ambiant augmente (exponentiellement) à mesure que$n$fait, donc en particulier il me semble qu'il devrait être plus facile pour les courbes d'avoir$\mathbb{F}_q$points lorsqu'ils sont plongés dans des espaces projectifs plus grands. Quelqu'un a-t-il une intuition quant à la raison pour laquelle le contraire devrait être vrai?
Références:
Beelen et Montanucci : Une borne pour le nombre de points des courbes spatiales sur des corps finis
Bucur et Kedlaya : La probabilité qu'une intersection complète soit lisse
Homma : une borne sur le nombre de points d'une courbe dans l'espace projectif sur un corps fini
Réponses
Une façon d'obtenir une certaine intuition consiste à examiner la borne combinatoire (plus faible). Supposons que vous ayez une courbe non dégénérée$C$dans un espace projectif$\mathbb P^n$. Supposons que cela$L$est un sous-espace de codimension$2$dans$\mathbb P$et cela$|C\cap L|=m$. Plus la dimension est élevée$n$obtient, plus la valeur que nous sommes autorisés à choisir est élevée$m$. En effet on peut toujours trouver au moins$n-1$points dans$C$qui s'étendent sur une$\mathbb P^{n-2}$.
Bezout vous dit que pour tout hyperplan$H$cela contient$L$, le nombre de points de$C$qui se trouvent dans$H$et ne mentez pas$L$est au plus$d-m$. Puisque le nombre de ces hyperplans est$q+1$, indépendamment de la dimension, on obtient$|C|-m\le (q+1)(d-m)$ou de manière équivalente en réarrangeant les termes$$|C|\le (d-m)q+d.$$Pour$m=n-1$cela donne la borne$|C|\le (d-n+1)q+d$pour toutes les courbes non dégénérées$C$. Bien sûr, c'est plus faible que la conjecture et les théorèmes que vous mentionnez dans l'article, mais (1) cela est vrai pour toutes les courbes, y compris celle qui viole la borne de Sziklai (2), cela montre déjà le phénomène "la borne se resserre à mesure que$n$monte".