Pourquoi le QED est-il renormalisable?

Question

Ma compréhension de la renormalisabilité est qu'une théorie est renormalisable si les divergences dans ses amplitudes peuvent être annulées par un nombre fini de termes. Je vois cela en ajoutant un contre-terme (dans le schéma MS-bar)

$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$

la divergence à une boucle de QED peut être rendue finie. Cependant, je ne vois pas comment cela rend le QED renormalisable? Sûrement que nous travaillons avec des diagrammes avec plus de boucles, nous obtiendrons plus de contre-termes - étant donné que nous pouvons avoir des diagrammes avec arbitrairement plusieurs boucles, n'avons-nous pas besoin d'un nombre infini de contre-termes pour les annuler?

Answer 1

QED n'a qu'un nombre fini de diagrammes divergents irréductibles. La notion principale de divergence d'un diagramme est le comptage de puissance: le terme que chaque diagramme représente a la forme d'une fraction comme$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ et vous pouvez calculer la différence entre la puissance de l'élan dans le numérateur et le dénominateur et l'appeler $D$. Heuristiquement, le diagramme diverge comme$\Lambda^D$ dans une échelle de momentum $\Lambda$ si $D > 0$, comme $\ln(\Lambda)$ si $D=0$, et est fini si $D < 0$. Cela peut échouer - le diagramme peut être différent pour$D < 0$ - s'il contient un sous-diagramme divergent plus petit.

Si vous travaillez sur la structure générale de $D$pour les diagrammes de QED, vous devriez être capable de vous convaincre que QED n'a qu'un nombre fini de diagrammes irréductibles à une seule particule divergents . Le fait d'annuler les diagrammes irréductibles suffit à annuler itérativement les divergences dans tous les diagrammes d'ordre supérieur les contenant dans des combinaisons arbitraires à tous les ordres est une déclaration non triviale parfois appelée théorème BPHZ, dont la signification technique - bien que pas par ce nom - est expliquée par l' article de Scholarpedia sur la renormalisation de BPHZ .

Answer 2

Nous obtenons un nombre infini de contre-termes, mais ce sera tous de la même forme (ou dans un ensemble fermé), c'est juste que les coefficients devant le terme seront étendus dans une série de puissance de la constante de couplage. Ce que cela signifie par «nombre infini de contre-termes -> non renormalisables», du moins d'après ma compréhension, est quelque chose comme la théorie phi ^ 5. Nous devrons ajouter un nombre infini de contre-termes, comme phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., pour annuler la divergence, et cela continue pour toujours. Ceci est différent de QED que nous avons juste besoin d'un nombre fini de contre-termes, mais les coefficients devant eux sont déterminés ordre par ordre.