Pourquoi les matrices de Gell-Mann ont-elles cette normalisation ?

Question

C'est peut-être une question stupide, mais pourquoi la normalisation des matrices de Gell-Mann (base de la$\mathrm{su}(3)$algèbre de Lie) choisi pour être$$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$au lieu de simplement$\delta_{ij}$sans le facteur$2$? Dans la plupart des algèbres linéaires, les vecteurs de base sont normalisés à$1$(ou pas normalisé du tout). Pourquoi pas dans le contexte des algèbres de Lie ? Y a-t-il une façon de voir cela qui rend le facteur$2$semble naturel?

Sur une note connexe, certains textes de physique modifient la normalisation en définissant "les générateurs de$\mathrm{SU}(3)$groupe" comme$T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$. Mais ceux-ci ne font que remplir$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$ce qui me semble tout aussi peu naturel. (Et la différence entre ces deux conventions de normalisation m'a juste coûté une heure à chasser un facteur manquant$4$dans un long calcul. C'est pourquoi je pose cette question xD).

Answer 1

Histoire. Les matrices de Gell-Mann sont une extension/généralisation des matrices de spin de Pauli pour su(2) , et$\lambda_{1,2,3}$s'identifier à ceux-ci, donc obéir à la même relation de trace.

Vous comprenez également pourquoi les matrices de Pauli sont encore normalisées de cette façon par un 1/2 supplémentaire, afin d'obéir ensuite à l' algèbre su(2) normalisée canoniquement avec une constante de structure ε , évitant ainsi les exponentielles de demi-angle.