Pourquoi les relations de congruence correspondent-elles généralement à un certain type de sous-objet?
Du point de vue de l'algèbre universelle, les structures de quotient des structures algébriques sont construites en utilisant https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. Si$A$ est une structure algébrique (un ensemble avec un tas d'opérations sur l'ensemble) et $R$ relation de congruence sur un ensemble, puis le quotient $A/R$ est bien défini et ce sera une structure algébrique du même type.
Or, il s'avère que, en particulier les catégories algébriques, ces relations de congruence sur $A$ correspondent exactement à un type de sous-objet de $A$. Par exemple, les relations de congruence sur un anneau correspondent précisément aux idéaux de cet anneau; les relations de congruence sur un groupe correspondent précisément aux sous-groupes normaux de ce groupe; les relations de congruence sur un module correspondent précisément aux sous-modules de ce module.
Pourquoi les relations de congruence correspondent-elles généralement à un certain type de sous-objet? Est-ce un phénomène général qui peut être généralisé à toutes les structures algébriques (comme étudié dans cette généralité par l'algèbre universelle)?
Réponses
Rappelez-vous que les congruences sur $A$ peut être considérée comme certaines sous-algèbres de son carré $A^2,\,$ par exemple https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
Dans les algèbres comme les groupes et les anneaux, où nous pouvons normaliser $\,a = b\,$ à $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$les congruences sont déterminées par une seule classe de congruence (par exemple un idéal dans un anneau). Cela a pour effet de réduire ladite relation entre les congruences avec les sous-algèbres de$A^2$ jusqu'à $A.\,$Ces algèbres sont appelées variétés déterminées idéales et elles ont été beaucoup étudiées.
Une réponse à votre question est que les variétés idéales déterminées sont caractérisées par deux propriétés de leurs congruences, à savoir être $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ et $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. Vous trouverez ci-dessous un extrait d'un article sur des sujets connexes qui constitue un bon point d'entrée dans la littérature sur ce sujet et des sujets connexes.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano et Aldo Ursini
- Préface
On nous a posé les questions suivantes:
- (a) À quoi servent les idéaux en algèbre universelle?
- (b) À quoi servent les variétés soustractives?
- (c) Y a-t-il une raison d'étudier la définissabilité des principaux idéaux?
Etant au milieu d'un projet dans les variétés soustractives, cela semble le bon endroit pour les aborder.
À (a). La notion d'idéal en algèbre générale [13], [17], [22] vise à retrouver certaines propriétés essentielles des classes de congruence de$0$, pour une constante donnée $0$. Il englobe: des sous-groupes normaux, des idéaux en anneaux ou groupes d'opérateurs, des filtres en algèbres booléennes ou de Heyting, des idéaux en algèbre de Banach, en l-groupes et dans de nombreux contextes plus classiques. En un sens, c'est un luxe, si l'on se contente de la notion de «classe de congruence de$0$". Ainsi, en partie, cette question pourrait devenir: Pourquoi les idéaux dans les anneaux? Pourquoi les sous-groupes normaux dans les groupes? Pourquoi les filtres dans les algèbres booléennes? Et bien d'autres. Nous n'avons pas envie de tenter de répondre à ces questions. Dans un autre sens, question ( a) suggère des questions similaires: à quoi servent les sous-algèbres dans l'algèbre universelle? et bien d'autres. Peut-être que toute l'entreprise appelée «algèbre universelle» est là pour répondre à ces questions?
Cela dit, il est clair que le cadre le plus approprié pour une théorie des idéaux est celui des classes déterminées idéales (à savoir, lors de la mise en correspondance d'une congruence E à son $0$-classe $\,0/E$établit un isomorphisme de réseau entre le réseau de congruence et le réseau idéal). Le premier article dans ce sens [22] portait cela dans son titre.
Il en ressort que - pour une variété V - la détermination idéale est la conjonction de deux caractéristiques indépendantes:
V a $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ congruences, à savoir pour toutes congruences $\rm\,E,E'$ de tout membre de $V,$ de $\,\rm 0/E = 0/E'$ ça suit $\rm\,E = E'$.
V a $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ congruences, à savoir pour toutes congruences $\,\rm E,E'$ de tout membre de $V,$ si $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ alors pour certains $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
Ce n'est pas vrai "généralement"; par exemple, ce n'est pas vrai pour les monoïdes ou les semirings. C'est un fait très spécial que c'est vrai pour les groupes et les anneaux, et dans les deux cas c'est vrai pour la même raison: la présence d'inverses permet de remplacer la réflexion sur une relation d'équivalence$a \equiv b$ en pensant à $b^{-1} a \equiv 1$ pour les groupes (produisant des sous-groupes normaux) et $a - b \equiv 0$ pour les anneaux (produisant des idéaux).
Notez également que, à proprement parler, les idéaux ne sont pas des sous-objets dans la catégorie des anneaux (avec identité).
C'est généralement faux . Le fait qu'il tienne dans les groupes et les anneaux est dû au fait que dans chaque cas nous avons une opération avec identité et inverses, à savoir l'opération de groupe ou l'addition d'anneau respectivement.
Tant que nous avons une telle opération, chaque congruence est en effet déterminée par une seule classe. Pour voir ça, supposons$S$ est une structure avec un fonctionnement inversible $*$, $a\in S$, et $\sim,\approx$ sont des congruences sur $S$ avec $[a]_\sim=[a]_\approx$. Réparer$b\in S$; nous voulons montrer$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (d'où, par symétrie et généralisation universelle, nous obtiendrons $\sim=\approx$).
Supposer $b\sim c$. ensuite$b b'a\sim cb'a$, où $x'$ désigne le $*$-inverse de $x$. Ça signifie$a\sim cb'a$, et ainsi depuis $[a]_\sim=[a]_\approx$ on a $a\approx cb'a$. Maintenant, nous annulons l'étape précédente: nous multiplions à droite par$a'b$ obtenir $b\approx c$ comme voulu.