Premier relatif à $0$
Cette question est plus générale, mais je vais utiliser un théorème pour la motiver.
Supposons que je veuille prouver qu'il existe un rationnel $r$ tel que $r^3 + r + 1 = 0$. La première étape consiste à supposer qu'il existe un tel$r$, donc $r = \frac{p}{q}$ où $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ où $p,q$ sont relativement premiers.
Voici ma question. Si ce$r$ étaient $0$ (ce n'est pas le cas, et je peux l'exclure, mais je veux savoir si je dois réellement l'exclure pour une rigueur totale), que $r = \frac{0}{q}$. Mais$0 \cdot 0 = 0$ et $0 \cdot q = 0$, donc les deux $p$ et $q$ ont un facteur commun de $0$.
Mais $\gcd(p,q) = 1$, encore, depuis $1 > 0$, et il ne semble pas avoir d'importance si $q$ est négatif.
Sur cette base, ma conclusion est que peu importe si $p = 0$et je n'ai pas besoin de considérer cela. Est-ce correct? Si j'ai écrit "assumer$p$ et $q$ n'ont pas de facteurs communs, "c'est déjà un peu ambigu car ils ont sûrement un facteur commun de $1$, mais l'hypothèse plus formelle de «relativement premier» semble correcte.
Réponses
Si nous remplaçons "$p,q$ sont relativement premiers "avec"$\frac pq$ est dans le «terme le plus bas» »cela changerait-il votre façon de penser?
Si $q > 1$ puis $\frac 0q = \frac 01$ donc $\frac 0q$ n'est pas dans les termes les plus bas.
Si nous utilisons la notation de $\gcd$ et "premier relatif" bien que l'argumentation soit la même.
Comme $0\cdot q = 0$ nous avons le $q$ est un diviseur de $0$ et donc $\gcd(0, q) = q$ et si $q > 1$ puis $\gcd(0,q) = q$ et donc
Si $q>1$ puis $0$ et $q$ ne sont pas relativement premiers.
Mais $\gcd(0,1) = 1$ donc
$0$ et $1$ sont relativement premiers.
Et nous pouvons simplement continuer.
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Mais dans votre analyse, vous vous êtes confondu et vous avez fait une convolution.
Vous dites:
Mais 0⋅0 = 0 et 0⋅q = 0, donc p et q ont tous deux un facteur commun de 0.
Pas assez. nous avons$0\cdot q =0$. Vous ne pas avoir$0\cdot something = q$. Donc$0$n'est PAS un facteur de$q$. Donc$0$n'est un facteur de rien sauf de lui-même.
Ce que vous n'avez et auriez dû dire parce que$0\cdot q = 0$ et $1\cdot q = q$ c'est tout $q$ (et pas $0$) qui est un facteur commun de $0$ et $q$.
En fait, tout est un facteur de$0$ donc $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Garder à l'esprit$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ parce que si quelque chose divise les deux $a$ et $b$ il divise aussi $-a$ et $-b$.)
Et $0$ et $q$ sont des moyens relativement premiers $\gcd(0, q) = 1$. Mais$\gcd(0, q) = |q|$ donc avoir $0$ et $q$ relativement premier nous devons avoir $q = \pm 1$.
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oh, je dois souligner, comme Prasun Bis m'a corrigé, que lorsque nous définissons $\gcd(a,b)$et le "plus grand" diviseur commun, la plupart des textes ne signifient pas nécessairement "le plus grand" en grandeur, mais "le plus grand" en divisibilité. Nous définissons$a\preceq b$ pour signifier que $a$ se divise $b$et c'est un ordre partiel (pas total, pas de comparaison de deux éléments). En utilisant cet ordre, le "plus grand" diviseur commun est le diviseur commun en lequel tous les autres diviseurs communs se divisent.
Pour la plupart, la définition est la même que si $a,b$ sont tous les deux positifs $a\preceq b \implies a \le b$. Et si$a,b$ sont des entiers positifs, le plus grand diviseur commun en grandeur et le diviseur commun le plus grand en divisibilité sont les mêmes.
Mais dans ce cas comme tout se divise $0$, nous avons toujours $q\preceq 0$ et $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ et $0$est la plus grande divisibilité que tous les entiers. Alors bien que tout$q$ sont des diviseurs communs de $0$ et $0$, $\gcd(0,0) = 0$.