Preuve de la théorie K du théorème de l'indice - une légère confusion
J'essaie de comprendre l'approche générale de la $K$-preuve théorique du théorème d'indice Atiyah-Singer, en utilisant https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdfpapier. J'ai rencontré une certaine confusion à la page 29, où il est dit:
"Il ne reste plus qu'à montrer que l'indice analytique commute avec l'isomorphisme de Thom $\phi:K(X)\to K(V)$ où $V$ est un faisceau vectoriel complexe sur $X$. [...] Ce problème est considérablement simplifié si l'on considère les bundles triviaux qui peuvent être exprimés comme le produit$V = X \times\mathbb{R}^n$. "
Sur la même page, on considère ensuite un bundle vectoriel $Y$ qui semble être le paquet associé de certains principaux $G$-bundle, mais l'auteur considère à nouveau $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$, c'est-à-dire un véritable faisceau vectoriel. Je ne comprends pas tout à fait en quoi cela a du sens, si nous voulons prouver quelque chose pour des faisceaux vectoriels complexes. Je comprends que nous pouvons voir un faisceau de vecteurs complexes comme un véritable faisceau de vecteurs en "oubliant" simplement la structure complexe, mais comme l'isomorphisme de Thom (au moins dans l'article) n'est défini que pour les faisceaux de vecteurs complexes, je pense qu'il me manque quelque chose de plus important. Je ne peux pas vraiment mettre le doigt dessus, alors si quelqu'un pouvait expliquer la construction à la page 29, ce serait très apprécié.
Réponses
Rappelez-vous que si $X$ et $Y$ be sont des collecteurs lisses compacts et $i\colon X\hookrightarrow Y$ et est une intégration fluide, nous voulons définir une "carte criarde":
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ où $K_c$ est $K$-théorie avec supports compacts.
La première étape (cf. p. 16 de l'article de G. Landweber ou pp. 497-8 de l'original de M. Atiyah et I. Singer's The Index of Elliptic Operators: I ) est de prendre un voisinage tubulaire$N\subseteq Y$ de $X$. Vous pouvez l'identifier avec le bundle normal$N\to X$, qui est bien sûr un véritable bundle vectoriel sur $X$. Maintenant, observez que$Ti\colon TX\to TY$ est une intégration et que $TN$ est le voisinage tubulaire de $TX$. En d'autres termes:$TN\to TX$ est un vrai faisceau vectoriel.
Mais on peut en dire encore plus. Il s'avère que si$\pi\colon TX\to X$est la projection, alors$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. Comme$N\oplus N\to X$peut être traité comme un faisceau vectoriel complexe (à savoir,$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, nous concluons que $TN\to TX$peut également être traité comme un faisceau vectoriel complexe . En particulier, il est logique de considérer l'homomorphisme de Thom$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
L'axiome d'excision permet de définir «l'indice analytique» pour $N$ comme une carte $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (Notez que cet «indice analytique» est défini via des plongements dans des variétés compactes, donc sa signification est différente de celle du cas compact). Nous voulons montrer que cet indice analytique commute avec l'homomorphisme de Thom défini ci-dessus. Pour ce faire, nous observons que$N$, comme un paquet normal sur $X$, peut être écrit comme $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, où $P$ est un mandant $O(n)$-bundle et $X=P/O(n)$. Puis on utilise l' axiome multiplicatif de l'indice analytique. (C'est la partie la plus avancée de la preuve et motive en fait l'utilisation d'équivariant$K$-théorie dans ce cas. Toutefois, si$N$ est un bundle trivial, $O(n)$ peut être remplacé par le groupe trivial $1$, et l'équivariance n'est pas nécessaire. De même, pour orientable$X$, il suffit de considérer le groupe $SO(n)$, ce qui simplifie légèrement la preuve).
Il semble que cette construction ait été faite pour des faisceaux vectoriels réels parce que chaque fibré vectoriel complexe peut être considéré comme un faisceau vectoriel réel lors de l'élimination de la structure complexe. J'ai du mal à justifier cela, car nous devons à nouveau ajouter la structure complexe pour l'isomorphisme de Thom, et j'aimerais savoir pourquoi nous n'utilisons pas$U(n)$-vector bundles à la place, puisque $U(n)$est également un groupe de Lie compact. Ne pouvons-nous pas former de bundle vectoriel complexe de cette manière, comme nous pouvons former un bundle vectoriel réel comme le bundle associé d'un bundle principal?