Preuve des fonctions gamma et bêta

Aug 19 2020

La fonction bêta est définie par l'intégrale$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ En évaluant $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ de deux manières différentes, montrez que $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

J'ai une preuve de la relation entre la fonction gamma et la fonction bêta, mais après avoir remplacé la première fois et échanger les intégrales, pourquoi la fonction devient-elle $x^{\alpha+\beta-1}$ après le peignage $x^{\alpha-1}$ et $x^{\beta-1}$ ça ne devrait pas être $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Réponses

1 mrtaurho Aug 19 2020 at 04:57

Examinons la ligne cruciale plus en détail. La substitution$y=tx$ donne $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Comme vous pouvez le voir, nous avons $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ d'où le supplément $-1$disparaît. C'est tout.

ErikCristianSeulean Aug 19 2020 at 04:58

Je pense que c'est plus facile si vous le faites en utilisant une histoire plutôt que de faire des intégrales compliquées. Imaginez deux distributions Gamma$X \sim Gamma(a, \lambda)$ et $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

À l'aide de ces deux, calculez le joint $f_{T,W}(t,w)$ distribution de:

$T = X + Y$ et $W = \frac{X}{X+Y}$.

En guise d'histoire, imaginez deux commis, travaillant dans une banque, travaillant tous les deux au même rythme $\lambda$. T est le temps d'attente total pour une personne qui doit traiter avec les deux commis, tandis que W est la fraction pendant laquelle la personne attend le premier commis.

Hors de la distribution conjointe, il va être clair que c'est le produit de deux distributions indépendantes, l'une qui est $Beta$. C'est aussi beaucoup plus facile à retenir.