Preuve par induction - est-ce correct?

Question

Preuve par induction que: Pour tous $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ est un multiple de $3$.

Je pense que je suis allé assez loin mais je ne sais pas si c'est correct / comment je devrais continuer. Mon travail:

Cas de base: montrez que $n=1$ détient: $7^2 + 2^3 = 57$ et $3|57$ donc $n=1$ tient.

Suppose que $n=k$ détient: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.

Prouve-le $n=k+1$ détient: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$

J'ai réorganisé cela pour qu'il soit sous la même forme que $n=k$ et obtenu $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.

J'ai ensuite simplifié et réorganisé cela pour $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.

Retirer un multiple de $4$ donne $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ et depuis $(7^{2k} +2^{2k+1})$ est un multiple de $3$, Je le laisse égaler $3m$ alors c'est $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.

Enfin, j'ai sorti un multiple de $3$ obtenir $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ qui est un multiple de $3$, d'où l'énoncé tient par récurrence.

Ma preuve est-elle complètement correcte? Y avait-il un moyen plus simple que j'aurais pu faire?

Answer 1

Votre preuve est correcte mais trop verbeuse. Pourquoi ne pas simplement écrire $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ et vous avez terminé.

Answer 2

Puisque vous avez demandé un moyen plus simple (et en supposant que vous devez utiliser l'induction), envisagez d'utiliser l'arithmétique modulaire:

Pour le cas de base pour $n=1$ nous avons $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$

ensuite $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ par hypothèse.

Bien que ce soit un peu artificiel car dans ce cas, la même chose peut être faite sans avoir besoin de vérifier le cas de base séparément.