Preuve pour une solution entière générale de l'équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑁 [dupliquer]

Question

Donné $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ et $N\in\mathbb{Z}$, il est facile de montrer que si $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ sont une solution particulière pour $ax+by=N$, puis $x=x_0+\frac{b}{d}t$ et $y=y_0-\frac{a}{d}t$, où $d=gcd(a,b)$ et $t\in\mathbb{Z}$, sont également une solution pour $ax+by=N$.

Mais puis-je demander comment prouver qu'ils sont en fait la solution générale pour $ax+by=N$ si nous restreignons les solutions à l'intérieur $\mathbb{Z}$? (c'est-à-dire que toutes les solutions entières ont été comptées)

Merci!

Answer 1

Soit A l'ensemble de toutes les solutions entières de paires ordonnées. Soit B l'ensemble de toutes les paires ordonnées de solutions entières uniquement de la forme que vous avez donnée. Nous savons$B \subseteq A$

Trouvez d'abord toutes les solutions rationnelles de l'équation, puis limitez-les.

Laisser

$x=x_0+bu$

pour $u \in\mathbb{Q}$

Ceci peut être résolu pour u pour tout x rationnel.

Et puis en utilisant

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, ce qui est également rationnel.

Ainsi, chaque élément de A peut être écrit comme $(x_0+bu,y_0-au)$ pour certains u rationnel.

Alors laisse $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

Nous exigeons

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

écrire $u=\frac{m}{n}$. Supposons que ce soit dans les termes les plus bas

Donc

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

Donc $n|b$ et $n|a$

Cela signifie $n|d$ où $d=gcd(a,b)$

Nous pouvons écrire $rn=d$ pour un entier r

Donc $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

Donc laisser $t=rm$, nous savons que $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

Donc $A \subseteq B$ Nous donnant $A=B$.