Pro discret. distribution : binomiale
Nous savons que pour une distribution binomiale, lorsque nous voulons savoir combien de résultats d'un événement se sont produits plutôt que d'utiliser un diagramme en arbre, nous pouvons utiliser des sélections ou des combinaisons. Par exemple, supposons qu'une variable aléatoire X représente le nombre de faces après qu'une pièce a été lancée trois fois, et nous voulons connaître le problème. de têtes qui sortent une fois.
On dirait Pr(X=1)= 3C1 fois ... prob. de succès fois prob. d'échec.
Parce que nous savons qu'il y a trois façons de choisir une tête. A partir de l'arborescence : HNN, NNH, NHN. H= têtes, N= pas de têtes.
Ma question est de savoir pourquoi est-il correct d'utiliser des combinaisons alors qu'il est clair que nous n'utilisons pas de combinaisons pour des choses où l'ordre est important. Ici, nous pouvons voir que parce que ces HNN, NNH, NHN sont toutes des choses différentes contenant le même élément d'une tête et de deux têtes, il est clair que l'ordre est important. Pourquoi ne pouvons-nous pas utiliser des permutations à la place ?
Réponses
Les permutations comptent les arrangements d' objets distincts . Les éléments d'une séquence de pile et face ne peuvent pas être distincts si la séquence a une longueur supérieure à deux.
Par exemple, le nombre de permutations des lettres du mot COUNT, qui a cinq lettres distinctes, est$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$et le nombre de permutations de trois lettres des lettres du mot COUNT est$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
D'autre part, le nombre de permutations distinguables des lettres du mot DISTRIBUTION, dans lesquelles toutes les lettres ne sont pas distinctes, est$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$puisqu'il faut choisir trois des douze positions pour le I, deux des sept positions restantes pour le T, puis disposer les sept lettres distinctes D, S, R, B, U, O, N dans les sept positions restantes. Le facteur de$3!$au dénominateur représente le nombre de façons dont on pourrait permuter les I entre eux dans un arrangement donné sans produire un arrangement qui se distingue de l'arrangement donné ; le facteur de$2!$au dénominateur représente le nombre de façons dont on pourrait permuter les T entre eux dans un arrangement donné sans produire un arrangement qui se distingue de l'arrangement donné.
Dans votre exemple, nous utilisons des combinaisons car une séquence de pile et face est entièrement déterminée en sélectionnant les positions des têtes, car les positions restantes de la séquence doivent être remplies par des piles.
En général, dans un problème de distribution binomiale, nous définissons l'un des résultats comme un succès et les autres comme des échecs. La probabilité d'obtenir exactement$k$succès dans$n$essais, chacun avec probabilité$p$du succès est$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$où$p^k$est la probabilité de$k$succès,$(1 - p)^{n - k}$est la probabilité de$n - k$les échecs, et$\binom{n}{k}$compte le nombre de façons dont ces$k$les succès peuvent se produire dans$n$essais. Notez que le choix de$k$de la$n$les essais sont des succès détermine complètement les résultats s'il y a exactement$k$succès depuis le reste$n - k$les essais doivent se solder par des échecs.