Probabilité de réussir un examen compte tenu de deux systèmes de notation différents
J'ai eu une discussion avec un pair sur la probabilité de réussir un examen compte tenu de deux systèmes de notation différents et je ne suis pas sûr de croire ce que mon pair a déclaré.
Ils ont déclaré qu'étant donné un examen avec 10 questions où une note de passage est de 5 questions correctes et un examen avec 6 questions où une note de passage est de 3 questions, il serait préférable de passer l'examen avec 10 questions car il y a une probabilité accrue de réussite. . Je n'ai pas acheté l'argument car il semble que les examens sont équivalents, c'est-à-dire qu'il faut 50% pour réussir non plus. Cependant, mon pair était catégorique sur leur point de vue. Quelqu'un peut-il clarifier cela?
Réponses
La justesse ou l'inexactitude de la déclaration de votre pair dépend de la probabilité de succès de répondre correctement à chaque question.
Si vous supposez que le test est un ensemble de$2N$questions vrai/faux, avec N réponses correctes requises pour réussir, où votre probabilité de répondre à n'importe quelle question est$p$, alors la probabilité$P$de réussite à l'épreuve est telle que :
pour$p<0.5$,$P$tombe de manière monotone avec l'augmentation de N et dans la limite de$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0$, il sera donc toujours préférable de choisir le test avec le moins de questions.
pour$p=0.5$la probabilité de réussite diminue toujours avec l'augmentation de N (mais maintenant asymptotes à 0,5),$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0.5$, alors choisissez toujours le test avec le moins de questions.
pour$0.5<p<2/3$la probabilité de réussite diminue initialement avec l'augmentation de N, mais augmente ensuite avec N plus grand et dans la limite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, votre choix dépendra donc du nombre maximum de questions. Par exemple, si$p=0.51$puis passer un test avec$N\simeq570$questions est légèrement mieux que de passer un test avec$N=2$des questions.
pour$p>2/3$la probabilité de réussite augmente de manière monotone avec l'augmentation de N, et dans la limite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, vous devez donc toujours choisir le test avec le plus de questions.
Dans votre exemple, en choisissant soit un test de 6 questions, soit un test de 10 questions, votre probabilité de réussite sera à peu près égale si$p\simeq0.564$(dans ce cas$P\simeq0.7674$), il serait préférable de faire le test de 6 questions si$p<0.564$, mais vous devez choisir le test de 10 questions si$p>0.564$.
Votre ami a tort, en supposant que vous lancez une pièce pour déterminer si vous avez raison ou tort. Vous avez tous les deux oublié qu'un score de 0 est possible, ce qui signifie que les chances de réussite ne sont pas de 50 % pour l'un ou l'autre.
Au test de 10 questions, 6 des 11 scores possibles réussissent. Au test de 6 questions, 4 notes sur 7 sont acceptées. Si vous lancez des pièces, alors les probabilités de réussite sont
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$ou$$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
Pour les tests de six et 10 questions respectivement. C'est 65% pour le test de 6 questions et 62% pour le test de 10 questions.
Il est préférable de passer l'examen en 6 questions si vous pensez vraiment que chaque question est un tirage au sort pour savoir si vous avez raison.
Réponse : cela dépend, mais pour un test vrai/faux, votre pair est incorrect.
Obtenir 5 bons et 5 mauvais est de savoir comment ordonner RRRRRWWWWW où R a raison et W a tort. Il y a$\binom{10}{5} = 252$façons. De même pour 6 à droite, 7 à droite, etc.
C'est$\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, ce qui équivaut$638$. Diviser par$2^{10}$nous obtient env.$0.623$.
Maintenant, obtenir 3 bonnes et 3 mauvaises commande RRRWWW. Nous voulons trouver$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, qui revient à$42$. Diviser par$2^6$nous obtient env.$0.652$.
$0.623 < 0.652$, donc votre pair est incorrect.