Problème 1.2.14 (b) dans la dynamique symbolique et le codage

Question

Compte tenu de l'alphabet $\mathcal{A}$ de taille 3, laissez $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$. Ici$x_i$ est un raccourci pour $x(i)$. Montre CA$X=\emptyset$ J'ai essayé d'utiliser des triplets de Pythagore $a^2+b^2=c^2$ et a conclu que $x_{a^2}=x_{b^2}$ si tel $x$existait. Alors maintenant, tout ce que j'ai à faire est de prouver$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ et j'aurai une preuve par contradiction.

Answer 1

(Remplissez les lacunes au besoin. Si vous êtes bloqué, écrivez votre processus de travail et de réflexion pour montrer où vous en êtes.)

Supposons qu'une telle séquence existe. Laisser$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$.

1. WLOG laisse $ x_1 = R$.
2. Nous nous concentrerons sur le numéro de la forme $ x_{1 + n^2}$et étiquetez-les $y_n$. Clairement$y_n = B$ ou $G$.
3. Réclamation: Si $ a^2 + b^2 = c^2$, puis $ y_a, y_b$ ont la même couleur, qui est distincte de $y_c$.
4. WLOG laisse $ y_3 = y_4 = B$ alors $y_5 = G$.
5. Alors $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$.
6. Alors $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$.
7. En utilisant les triplets pythagoriciens (et leurs multiples), continuez à ajouter des termes connus jusqu'à ce que vous obteniez une contradiction. (J'ai une contradiction avec$y_{16}$, comme il doit éventuellement être $B$. Bien sûr, vous pourriez atteindre une autre contradiction.)

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $