Problème d'affacturage $x^4-x^3+x^2-x+1$
Je veux calculer l'intégrale suivante en utilisant une fraction partielle: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Alors je décompose le dénominateur:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
Pour la prochaine étape, j'ai cherché sur Internet et j'ai découvert que je devrais décomposer$x^4-x^3+x^2-x+1$ comme ça:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
Puis $a,b$ peuvent être trouvés facilement.
Ma question est pourquoi les coefficients de $x^2,x^0$ sont $1$?
Parce que je peux réécrire:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
Et la seule chose que je peux voir au premier regard est $ad=1,cf=1$ et je n'ai aucune idée de pourquoi $a=d=c=f=1$
Vous pouvez voir sa réponse ci-dessous:

Réponses
En général, les deux polynômes sont donnés jusqu'à la multiplication d'une constante (vous pouvez multiplier un par $k$ et autres par $1/k$), afin de pouvoir l'organiser de manière à $a=d=1$est garanti. Par exemple$x^2+4x+4$ peut être pris en compte comme $(x+2)(x+2)$ mais aussi comme $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Nous sommes donc libres de fixer l'un des coefficients pour rendre la réponse unique. Cependant, si vous faites cela, vous n'avez pas le choix pour les autres, donc un bon début ici est quelque chose comme$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
Bien sûr, vous pouvez faire des calculs supplémentaires pour obtenir plus d'informations sur les coefficients constants, mais pas avant cela.
L'exemple légèrement modifié ci-après montre également qu'en supposant que les coefficients principaux et constants soient $1$ depuis le début est faux:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
Cependant, comme indiqué dans l'autre question liée, dans ce cas, il a probablement été utilisé (mais pas expliqué) que le polynôme est palindromique (auto-réciproque), ce qui implique que ses racines viennent par paires $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (c'est le résultat de $x^4f(1/x)=f(x)$). Cela vous permet d'attendre les facteurs dans un formulaire$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ ou plus générique $x^2-ax+1$.
Supposons que vous ayez un polynôme monique (par exemple, coefficient principal de 1) $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ que vous factorisez en deux polynômes du 2e degré:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
Ensuite, vous pouvez diviser chaque coefficient du premier polynôme par $e$ et multipliez chaque coefficient du deuxième polynôme par $e$. Cela produit:$(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
Cependant, puisque le produit de ces deux polynômes est
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
puis$h \times e$ doit = 1. $
Par conséquent, le polynôme monique du 4ème degré a été factorisé en deux polynômes moniques du 2ème degré. Comme d'autres l'ont souligné, sous cette factorisation, ce n'est pas parce que le coefficient $ x ^ 0 $ dans le polynôme du 4e degré est 1 que les coefficients $ x ^ 0 $ dans les deux polynômes du 2e degré doivent être chacun un. Tout ce que vous pouvez dire avec certitude, c'est que le produit des deux coefficients $ x ^ 0 $ dans les deux polynômes du 2e degré doit = 1.
Si je comprends bien, il se trouve que lorsque le polynôme monique du 4e degré donné dans la requête d'origine est factorisé en deux coefficients moniques du 2e degré, pour ce coefficient particulier du 4e degré, les polynômes moniques du 2e degré résultants ont leur $ x ^ 0 $ coefficients chacun = 1.
Addendum Focus sur le polynôme original du 4ème degré de l'OP
Tout d'abord, considérons le polynôme du 4ème degré qui vaut
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]). $
Ceci est un contre-exemple simple dont le produit aura la forme $ x ^ 4 + hache ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
Edit Eh bien, c'est embarrassant:
Je viens de réaliser que mon contre-exemple ci - dessus est imparfait . Autrement dit, lorsque $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ est combiné en un polynôme monique du 4e degré, il peut bien y avoir d'autres façons de factoriser ce 4e degré polynôme qui correspond au modèle initialement suggéré à l'OP.
Quoi qu'il en soit, le reste de cet addendum examine les contraintes d'une manière très similaire à la https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients lien que quelqu'un a déjà commenté.
Toute cette analyse soulève la question de savoir pourquoi il y avait apparemment une suggestion de factoriser
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ en
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ fois (x ^ 2 - bx + 1). $
Je suppose que ce qui se passe réellement, c'est qu'il a été supposé que $ f (x) $ peut être ainsi factorisé.
Par conséquent, on demande à l'étudiant d' explorer la conjecture et de voir si elle est vraie. L'exploration conduit aux contraintes suivantes sur $ a $ et $ b $ :
(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $
Notez que vous avez trois contraintes sur les deux variables $ a $ et $ b. $
Cependant, comme les contraintes (1) et (3) sont identiques, vous vous retrouvez avec seulement deux contraintes.
Même si les deux contraintes (1) et (2) étaient linéaires, cela ne garantirait toujours pas (en général) une solution [par exemple r + s = 6. 2r + 2s = 11].
Dans le cas présent, la contrainte (2) est non linéaire, ce qui la rend encore plus incertaine. Remarque: je suis sur de la glace mince ici, je n'ai jamais étudié l'effet de la combinaison d'une contrainte linéaire avec une contrainte non linéaire.
Cependant , en explorant comme prévu, on peut supposer que des valeurs satisfaisantes de $ a $ et $ b $ peuvent être trouvées. En regardant $ f (x), $ remarquez que la contrainte (3) est identique à la contrainte (1) précisément parce que dans $ f (x) $ les coefficients $ x ^ 3 $ et $ x ^ 1 $ sont identiques.
Par conséquent, on pourrait soutenir que la conjecture suggérée était bien motivée.