prouvant la convergence de $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [dupliquer]

Nov 26 2020

$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$

Prouvez que la séquence est convergente.

J'essaye de prouver la convergence de cette séquence mais j'ai du mal. Au début, j'ai pensé que cela pourrait être une séquence monotone puisque je peux essayer le théorème de convergence monotone pour prouver sa convergence.

Mais après avoir vérifié certains termes, j'ai réalisé qu'il semblait que la séquence oscille. Je ne sais donc pas comment prouver la convergence de cette séquence.

Merci.

Réponses

1 phy_math Nov 26 2020 at 13:59

Cette séquence est une séquence de Cauchy donc elle converge.

D'abord tu vois $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$de relation récursive. [$a_1=1$ et $a_{n+1}$ est défini par des termes positifs ajoutés]

Deuxième depuis $a_n>0$ Donc $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $

Considérez maintenant \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}et c'est la séquence cauchy. [La série avec ce formulaire est appelée contractuelle et après avoir appliqué de manière répétée la même procédure en continuant à$|a_2-a_1|$, et par le théorème de Squeeze, vous pouvez facilement deviner $a_n$ est une séquence de Cauchy]

Dans $\mathbb{R}$La séquence de cauchy implique des convergences donc elle converge. Puis en prenant des limites$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ nous avons $\alpha^2 = 2$ et de $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$.

1 DanielWainfleet Nov 26 2020 at 16:32

Une méthode souvent utile avec des séquences oscillantes: Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ ensuite $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ car $1+a_n\ge 2$ par induction sur $n$.

Donc $b_n$ diminue à $0$. Donc$(a_n)^2\to 2$ avec chaque $a_n>0.$

La motivation pour le "$2$"dans la définition de $b_n$ est-ce que si $a_n$ converge vers une limite $L$ puis $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ impliquant $L^2=2.$