Prouve-le $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
J'ai trouvé un intéressant https://mathoverflow.net/questions/66423/hard-hypergeometric-4f3 à propos des séries hypergéométriques généralisées dans MO, indiquant que:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
Cela concorde numériquement, mais je n'ai trouvé aucune preuve utilisant les propriétés élémentaires des fonctions hypergéométriques (par exemple la somme cyclique) ou des formules gamma classiques (par exemple la formule de Dougall). Je parie que ça a quelque chose à voir avec les formes modulaires et elliptiques$K$ intégrale, mais la relation exacte reste insaisissable.
Comment prouver cette identité ? Quelle sera sa motivation? Pouvons-nous générer une autre évaluation Gamma de séries hypergéométriques d'ordre élevé en utilisant la méthode pour le prouver? Toute aide serait appréciée.
Réponses
Laisser $S$ être le donné $_4F_3$, alors (la première égalité vient de l'intégration par terme), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
On le voit facilement $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ est la valeur du $_3F_2$ à $a=0$ (https://mathworld.wolfram.com/DixonsTheorem.html). Ensemble$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
Par règle de chaîne multivariée, $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
En général, dérivé de $_pF_q$par rapport à un paramètre est insoluble. On ne peut les traiter que de manière ad hoc . Dans notre situation, il est bien connu que$_3F_2$ à $1$ satisfait certaines transformations: deux générateurs sont la 1ère et la 3ème entrée https://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric3F2/17/02/06/. En utilisant ces deux entrées, nous obtenons$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
Observez que pour les quatre $_3F_2$ ci-dessus, leurs arguments sont tous comme $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, la seule différence est $a$apparaît à différents endroits. Cela révèle pourquoi$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ est spécial.
Introduire une définition opérationnelle: écrire $x\equiv y$ si $x-y$est une "combinaison linéaire de facteurs gamma". Par exemple,$x\equiv y$ si $x-y = A$. Maintenant, prenez un dérivé à$a=0$, on obtient $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ La résolution de ce système donne $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
Donc $d_{1/3}+d_{4/3}$ peut être exprimé en fonction gamma, $S$ selon $(*)$.
Il n'y a aucune difficulté à faire $(**)$ explicite: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
La résolution donne $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. Nous obtenons également des valeurs de$d_1, d_{2/3}$ comme sous-produits.
Waouh incroyable! Résolu 9 ans plus tard! Merci à tous d'avoir déterré ce problème, puis de l'avoir résolu. Cela peut-il donner une forme générale pour
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
Je devrais probablement donner quelques motivations pour cela. Dans l'article suivant, j'ai examiné le temps de sortie attendu d'un mouvement brownien planaire commençant à 0 à partir d'un$m$-gon centré à 0:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
C'est (jusqu'à une constante qui dépend de la taille du polygone)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
qui ne roule pas exactement de la langue. Cependant, pour un triangle équilatéral, il existe une méthode différente pour calculer cela, et cela donne$1/6$. Nous obtenons donc une identité en assimilant les deux, et c'est l'identité. Maintenant, la question est, pouvons-nous utiliser cette méthode pour obtenir une expression plus agréable pour le$_4F_3$ pour plus grand $m$? Ce serait alors une meilleure expression pour le temps de sortie attendu du mouvement brownien de la$m$-gon.
Une version purement analytique (c'est-à-dire non probabiliste) de tout cela peut être trouvée ici, car le temps de sortie attendu est fondamentalement la norme Hardy H ^ 2 du domaine, jusqu'à une constante.
https://arxiv.org/abs/1205.2458