Prouver $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$

Jan 08 2021

Prouver $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$, avec $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$

J'ai essayé une question similaire mais là j'avais donné une série de la fonction. Cette fois, je ne sais pas s'il existe une série qui peut m'aider avec ça. Je l'ai essayé sans série:

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}

Mais maintenant je suis à nouveau coincé. Je pense qu'il doit y avoir un moyen plus simple de le prouver. Est-ce que quelqu'un peut m'aider?

Réponses

2 mathcounterexamples.net Jan 08 2021 at 02:47

Tu as

$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$

d'où suit en commutant $\int$ et $\sum$ les égalités

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$

comme dans la double somme, les seuls termes non évanouissants sont pour $k=-l$ et il y a $n+1$ ces termes.

4 AsemAbdelraouf Jan 08 2021 at 02:38

Indice: laissez$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ et laissez $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ Prouve-le $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$

$D_n$ est connu sous le nom de noyau Dirichlet et $F_N$ est connu sous le nom de noyau de Fejér.

1 Quanto Jan 08 2021 at 02:46

Voici à intégrer sans recourir à des séries

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} où le résultat $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$dérivée de l' intégrale trigonométrique paramétrique$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ est utilisé.