Prouver ou réfuter des faits de base sur une série subvergente (définition inventée)
J'apprends par moi-même une véritable analyse de Understanding Analysis
Stephen Abbot. Je voudrais demander si j'ai déduit les conclusions correctes pour les assertions ci-dessous concernant une série subvergente (définition inventée).
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
Définition . Disons qu'une série subvertit si la suite de sommes partielles contient une sous-séquence qui converge.
Considérez cette définition (inventée) pendant un moment, puis décidez laquelle des déclarations suivantes sont des propositions valides sur des séries subvergentes:
(a) Si $(a_n)$ est borné, alors $\sum a_n$ subvertit.
(b) Toutes les séries convergentes sont subvergentes.
(c) Si $\sum \absval{a_n}$ subvertit, alors $\sum a_n$ subvertit aussi.
(d) Si $\sum a_n$ subvertit, alors $(a_n)$ a une sous-séquence convergente.
Preuve. (a) Cette proposition est fausse. Comme contre-exemple, considérons la séquence$(a_n):=1$. La séquence des sommes partielles est$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Aucune sous-séquence de$(s_n)$converge. Donc,$\sum {a_n}$ n'est pas subvergent.
(b) Puisque la série est convergente, la séquence des sommes partielles converge et donc toute sous-séquence de sommes partielles converge également vers la même limite. Ainsi, toutes les séries convergentes sont subvergentes.
(c) Je pense que cette proposition est vraie. Laisser$(s_n)$ être la suite des sommes partielles des valeurs absolues et $(t_n)$ être la suite des sommes partielles de la série $\sum a_n$.
Par définition de subvergence, il y a une sous-séquence $(s_{f(n)})$ de $(s_n)$qui converge. Sans perte de généralité, supposons$(s_{2n})$est l'une de ces sous-séquences convergentes. Ensuite, il existe un$N \in \mathbf{N}$ tel que, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
pour tous $n > m \ge N$.
En utilisant ce fait, nous pouvons écrire une belle inégalité pour la sous-séquence $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
pour tous $n \ge N$.
Comme ce qui précède est vrai pour toutes les sous-séquences $(s_{f(n)})$ où $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ est une bijection, $\sum a_n$ est subvergent.
(d) Je ne peux pas penser à un contre-exemple pour cela.
Réponses
- Pour a) votre preuve est ok
- Pour b), ok aussi
- Pour c), j'aurais écrit:
Allons $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ et $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ pour tous $n$.
Alors pour tous $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ et $a_n = a_n^+ - a_n^-$.
Puisque $\sum |a_n|$ est subvergent, et $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ et $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, nous avons ça $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ sont subvergents, donc la somme $\sum a_n$ est subvergent.
(Le fait que si $\sum u_n$ converge avec $(u_n)$ positif, alors pour tous $(v_n)$ positif tel que $\forall n,v_n\leqslant u_n$ les subvertis mériteraient une preuve, mais ce n'est pas si difficile)
- Pour d) je définis $(a_n)$ tel que pour $n\geqslant 0$,
$a_{2n} = -n$ et $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.
ensuite $\sum a_n$ converge depuis (si l'on note $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge quand $n\rightarrow +\infty$.
Mais nous n'avons clairement pas de sous-séquence qui converge.