Prouver que$(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$pour un premier$q$allongé sur$p$

Question

Laisser$f : A \to B$être un morphisme entre anneaux commutatifs unitaux. On peut ainsi considérer$B$-modules comme$A$-modules via cette carte, et$A$-modules comme$B$-modules par tenseur avec$- \otimes_A B$.

Ne laissez pas$M$et$N$être$A$- et$B$-modules respectivement. Étant donné un nombre premier$q$de$B$et couché sur un nombre premier$p$dans$A$, nous savons que$f$descend à une carte entre les localisations respectives et donc une correspondance similaire à celle ci-dessus est valable pour leurs modules respectifs.

je veux montrer que$$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$comme$B_q$-modules.

Mon raisonnement est le suivant : puisque

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

et$N_q$est un$B_q$-module, c'est un$A_p$-module, donc$N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$et donc

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Cela semble correct mais j'utilise "l'associativité du produit tensoriel par rapport à différents anneaux" sans trop m'en soucier.

Un contrôle de santé mentale et/ou une référence seraient très appréciés.

Answer 1

Votre argumentaire fonctionne ! Vous avez simplement appliqué le fait que si$f : A\to B$est un morphisme en anneau,$M$est un droit$A$-module,$N$est un$(A,B)$-bimodule, et$L$est une gauche$B$-module, puis$(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(voir ici ). Appelons ce fait$(*).$Comme vous le savez, si$M$est un$R$-module et$S\subseteq R$est un ensemble multiplicatif, alors$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$appelle ce fait$(**).$Alors votre argument est le calcul suivant :\begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}