Qu'arrive-t-il à la phase après l'effondrement de la fonction d'onde?
Supposons un état quantique initial $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, où $\phi_i$ est la fonction propre à valeur propre $\lambda_i$d'un opérateur de mesure. Après la mesure, on retrouvera le système en état$\phi_i$ avec probabilité $|a_i|^2$.
Qu'arrive-t-il à la phase après la mesure? Le principe selon lequel les mesures ultérieures immédiates devraient toujours renvoyer la même valeur serait satisfait quelle que soit la phase résultante. Nous pourrions trouver le système dans n'importe quel état$b\phi_i$, tant que $|b|^2=1$. Je suis sûr que les postulats de la mécanique quantique spécifient quelque chose à ce sujet, mais je n'ai pas réussi à trouver de texte qui y répond. Qu'est-ce que doit$b$ être?
Réponses
En mécanique quantique, les états sont représentés par des rayons dans l'espace de Hilbert, ou plus précisément, l'espace des états est un espace de Hilbert projectif - par exemple, pour un système de dimension finie, l'espace est$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, où pour $u, v \in H_n$, $u \sim v$ si $u = \alpha w$ pour un nombre complexe non nul $\alpha$.
Maintenant, nous préférons généralement travailler avec l'espace de Hilbert simple plutôt que projectif, en choisissant d'imposer le quotient chaque fois que cela est utile - simplement parce que nous avons beaucoup plus d'outils utiles à notre disposition lorsque nous travaillons avec les espaces de Hilbert.
Cependant, vous devez toujours vous rappeler que l'espace réel des états est l'espace projectif de Hilbert, ce qui signifie que la déclaration "Nous pourrions trouver le système dans n'importe quel état $b\phi_i$ à condition que $|b|^2 = 1$"n'a pas de sens, car il n'y a pas d'états séparés $b\phi_i$- ce n'est pas non plus que tous ces états sont «identiques» - la vraie raison est qu'il n'y a qu'un seul état$\phi_i$ dans l'espace projectif de Hilbert.
L'effondrement de la fonction d'onde n'est qu'une fiction que nous utilisons car il serait compliqué de décrire les mesures de façon réaliste comme un enchevêtrement de l'observateur avec la chose observée, avec décohérence.
La phase en mécanique quantique n'est pas une observable. Vous ne pouvez déterminer la phase de quelque chose que par rapport à autre chose. La phase$b_1$de l'état après avoir mesuré le système comme étant dans l'état 1 n'a aucune signification en soi. Vous auriez besoin de le comparer avec une autre phase, telle que la phase$b_2$ du système qui est enchevêtré avec une personne qui l'a mesuré comme étant dans l'état 2. Si vous pouviez faire cela, alors il serait significatif de dire, par exemple, que $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$a une certaine valeur. Pour ce faire, il faudrait faire quelque chose comme mesurer les interférences entre la personne à l'état 1 et la personne à l'état 2. Mais la raison pour laquelle l'effondrement est une bonne approximation est que la décohérence nous empêche de détecter ce type d'interférence , de sorte que la personne 1 pourrait tout aussi bien cesser de suivre l'existence de l'autre possibilité.
Après la mesure, on retrouvera le système en état $\phi_i$ avec probabilité $|a_i|^2$.
Presque, l'état final correct est $$a_i\phi_i,$$c'est juste le résultat de l'application de l'opérateur de projection. Si nous le souhaitons, nous pouvons alors le normaliser en$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$mais nous ne devrions le faire que si nous savons que nous ne le comparerons pas ou ne le superposerons pas à d'autres états. Lorsque nous le normalisons, nous le divisons par un nombre réel , ce qui ne supprime pas la phase. La phase globale n'est pas importante uniquement si nous ne prévoyons pas de comparer / superposer l'état avec d'autres états.
Une façon de voir que l'état final est $a_i\phi_i$, ou si l'on souhaite que son cousin normalisé avec la phase intacte, c'est d'abord imaginer que tout sauf le $i$ème coefficients $a_j$sont 0 et prennent en compte l'état post-mesure global du système + appareil. Par continuité, immédiatement après la mesure, l'état global est exactement le même que la pré-mesure immédiate (nous parlons d'effondrements instantanés dans cette question). Par conséquent, nous devons attribuer à l'état post-mesure du système ce qu'il était immédiatement avant la mesure,$a_i\phi_i$. Toute autre chose serait une étape inutile et ad hoc bizarre.
Pour le cas général, avec d'autres coefficients non nuls, la même chose devrait être vraie par linéarité, car réduire l'état signifie simplement ne conserver qu'une seule des branches résultantes.