Qu'entend-on par logique «faible»?
L'Encyclopédie de la philosophie de Stanford, sv "Modal Logic", déclare:
Les logiques les plus familières de la famille modale sont construites à partir d'une logique faible appelée K (d'après Saul Kripke) ...
Les références à «faible» et «faiblesse» sont relativement fréquentes dans les questions posées sur ce site Web, par exemple la logique de second ordre faible . Mais ni les réponses données sous cette rubrique particulière ni les explications de faiblesse telles que celles données sous Que signifie un axiome «plus faible» qu'un autre? expliquez-moi quelle pourrait être la faiblesse d'une «logique» ou d'un autre système entier.
Qu'entend-on par «une logique faible»?
Réponses
Une logique est plus forte plus elle prouve de théorèmes, et comme corollaire, moins elle a de modèles.
Plus il y a d'axiomes, et plus un axiome est spécifique (dans le sens où A est plus spécifique que B si A implique B mais B n'implique pas A), plus de formules seront déductibles de ces axiomes: Une logique est forte dans le sens où il parvient à prouver de nombreuses phrases.
D'un autre côté, plus une théorie a besoin d'être vraie, plus il devient difficile pour une structure de satisfaire tous les axiomes, donc moins il y aura de modèles: une logique est forte dans le sens où elle parvient à expulser de nombreuses structures et ne laisse que peu de possibilités de ce à quoi l'univers pourrait ressembler.
La logique modale K n'a qu'une seule règle et un axiome, ou en termes de relation d'accessibilité, aucune contrainte du tout. Ainsi, toute structure modale peut satisfaire cette théorie, et il n'y a pas beaucoup de théorèmes qui peuvent être dérivés de cet axiome unique, et parviennent à être universellement vrai dans toutes ces nombreuses structures, dans ce cadre plus général.
En ajoutant plus d'axiomes, ou de contraintes sur la relation d'accessibilité, plus de structures sont exclues. Ainsi, plus de phrases peuvent être prouvées, et parviennent à être vraies dans tous ces modèles moins nombreux, dans cette théorie plus spécifique. Les théories telles que T, S4, S5 sont donc plus fortes que K.
Notez que cette définition s'effondre si la logique est incohérente et incorpore la loi classique de l'explosion: alors la logique prouve chaque affirmation, et elle n'a pas de modèles - ce qui, selon les critères ci-dessus, la rendrait indéfiniment forte; mais ce n'est pas ce que nous voudrions intuitivement, car une telle logique est triviale. (Notez cependant que ce traitement classique n'est pas une nécessité: il existe des logiques qui ne font pas automatiquement exploser des théories incohérentes; cf. logique paraconsistante).