Qu'est-ce qu'une catégorie infinie, vraiment?
Je m'intéresse précisément aux informations encodées par une catégorie infinie. Par exemple, considérons la catégorie infinie des espaces. J'aime penser à cela comme à la catégorie d'homotopie des espaces équipés d'une structure supplémentaire, provenant du modèle d'ensemble simplicial, qui nous permet de calculer les limites d'homotopie, etc. Ma question (plutôt vague) est la suivante :
- En quoi cette structure est-elle unique ? En d'autres termes, étant donné une catégorie d'homotopie, existe-t-il une catégorie canonique associée à l'infini ?
- Dans le même ordre d'idées, les catégories à l'infini codent-elles des informations non homotopiques (par là, j'entends des informations qui ne peuvent pas être obtenues à partir de la catégorie d'homotopie) dans la nature ? Si oui, quoi ?
Réponses
Je pense qu'il est utile de considérer un analogue de dimension beaucoup plus faible de votre question, qui est (au moins pour moi) beaucoup plus facile à raisonner intuitivement, mais qui fait quand même passer une partie du message.
Comparons$0$-catégories (c'est-à-dire ensembles) et$1$-catégories (c'est-à-dire catégories) en fonction de ce qu'ils sont capables d'encoder.
- un$0$-category est juste une classe d'objets. Deux objets d'un$(0,1)$-catégorie sont équivalentes précisément si elles sont égales (c'est la$0$-troncature catégorique de l'équivalence), et on ne peut vraiment rien dire de plus sur les objets.
- un$1$-la catégorie est une$0$-catégorie (faiblement) enrichie en$(0,0)$- les catégories (c'est-à-dire les ensembles), qui nous permettent d'être plus délicats sur la façon dont un objet se rapporte à un autre ; en particulier, les morphismes permettent de décrire la structure des objets, et$1$-le langage catégoriel aborde donc les propriétés des objets concernant leur structure. Plus précisément, deux objets d'un$1$-catégorie sont équivalentes précisément si elles sont isomorphes (c'est-à-dire qu'elles ont la même structure), et$1$-les constructions catégorielles (telles que les co/limites) sont définies à isomorphisme près.
Donné un$1$-Catégorie$\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, on peut définir son homotopie$0$-Catégorie $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$comme le$0$-catégorie dont les objets sont des classes d'isomorphisme d'objets de$\cC$. Cela constitue une présentation efficace de$\cC$avec un$0$-catégorie dans le sens où les objets de$\cC$sont isomorphes précisément si les objets correspondants dans$\Ho\cC$sont égaux.
Cependant, nous pouvons également voir que cela est difficile à désosser, même canoniquement, car plusieurs non équivalents$1$-les catégories peuvent avoir la même homotopie$0$-Catégorie. Le moyen le plus rapide de voir cela est de noter qu'un$0$-Catégorie$X$peut être considéré comme un$1$-catégorie avec seulement des morphismes d'identité, et dans ce cas$\Ho X=X$; en particulier, compte tenu de$1$-Catégorie$\cC$, son homotopie$0$-Catégorie$\Ho\cC$est également une présentation de la$0$-Catégorie$X := \Ho\cC$ considéré comme un$1$-catégorie . Lequel de$\cC$et$X$serait un choix plus approprié d'un "canonical$1$-category" associé à$\Ho\cC$?
De plus, comme le mentionnent les commentaires, il est presque impossible d'effectuer$1$-constructions catégorielles dans l'homotopie$0$-catégorie : les seuls diagrammes$F:J\to\Ho\cC$qui ont des limites sont des diagrammes constants. En fait, même si nous calculions la limite d'un foncteur$F:J\to\cC$où tous les objets du diagramme étaient isomorphes les uns aux autres (c'est-à-dire la carte induite$F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$est une application constante) de sorte que la limite dans l'homotopie$0$-catégorie existe, la limite dans$\Ho\cC$n'a pas du tout besoin d'être lié à la limite dans$\cC$. Par exemple, le produit cartésien$X\times X$n'est généralement pas isomorphe à$X$, mais la limite dans la carte correspondante$\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$(qui est une application constante) sera toujours la classe d'isomorphisme de$X$.
L'histoire est similaire pour$(\infty,1)$-catégories. Comme ceux-ci peuvent être pensés comme des catégories faiblement enrichies en espaces (ou$\infty$-groupoïdes), nous pouvons être encore plus délicats sur la façon dont nous comparons les objets. De même que les catégories s'occupent de la structure des objets,$(\infty,1)$-les catégories concernent la structure cohérente d'homotopie des objets. Par exemple:
- considérer les espaces topologiques$\Bbb R$,$(0,1)$, et$\{0\}$. Si nous les regardons$0$-catégoriquement (dans le$0$-Catégorie$\mathbf{Top}_0$d'espaces topologiques), alors ils sont tous complètement différents, car ils sont constitués d'éléments différents. Si nous les regardons$1$-catégoriquement (dans le$1$-Catégorie$\mathbf{Top}$d'espaces topologiques et de cartes continues), puis$\Bbb R$et$(0,1)$sont les mêmes parce qu'ils ont la même structure topologique, mais ils sont différents de$\{0\}$car ils ne peuvent pas être mis en bijection. Enfin, si on les regarde$(\infty,1)$-catégoriquement, alors les trois objets sont les mêmes, car ils peuvent être contractés jusqu'à un certain point.
- de même, considérez les catégories$\mathbf{FinSet}$des ensembles finis et sa sous-catégorie complète$\mathbf{FinOrd}$sur les ordinaux finis. Elles sont non isomorphes en tant que catégories car la première a une classe d'objets propre tandis que la seconde a un ensemble et ne peut donc pas être mise en bijection ; cependant, ils sont équivalents en tant que catégories car nous pouvons contracter les objets de$\mathbf{FinSet}$ensemble par bijections ensemble (par leurs cardinalités) et trouver que$\mathbf{FinOrd}$est le squelette de$\mathbf{FinSet}$
On peut certainement associer à un$(\infty,1)$-Catégorie$\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$une catégorie d'homotopie$\Ho\sC$, où les objets de$\Ho\sC$sont isomorphes précisément s'ils sont équivalents en$\sC$, mais nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de procéder à une rétro-ingénierie. Comme auparavant, une catégorie$\cC$peut être considéré comme un$(\infty,1)$-catégorie où toutes les cellules supérieures sont triviales, et dans ce cas$\Ho\cC=\cC$, donc étant donné un$(\infty,1)$-Catégorie$\sC$, sa catégorie d'homotopie est aussi une présentation de la catégorie$\cC := \Ho\sC$ considéré comme un$(\infty,1)$-catégorie .
De plus, le calcul des limites dans$\Ho\sC$ne dira rien sur la façon de calculer les limites dans$\sC$. Par exemple, considérez le$(2,1)$-Catégorie$\mathbf{Cat}$de (petites) catégories, foncteurs et isomorphismes naturels, considérés comme une$(\infty,1)$-Catégorie. Ensuite, sa catégorie d'homotopie$\Ho\mathbf{Cat}$ne parvient pas à avoir des retraits, ce qui est illustré ici . La distinction entre les limites d'homotopie en général et les limites de la catégorie d'homotopie correspondante est également soulignée ici , où ils soulignent que même si la limite en$\Ho\sC$existe, il n'est pas nécessaire qu'elle corresponde à la limite dans$\sC$.
Dans certains cas, vous pouvez présenter une$(\infty,1)$-catégorie avec un$1$-catégorie équipée d'une structure supplémentaire pour que vous puissiez travailler avec$1$-langage catégorique pour discuter de la structure du$(\infty,1)$-catégorie qu'il présente, et vous pourrez peut-être même récupérer le$(\infty,1)$-catégorie canoniquement. Par exemple, si$\sC$est présentable localement$(\infty,1)$-category , alors vous pouvez le présenter avec une catégorie de modèle simplicial combinatoire$\cC$. Ensuite, les limites dans$\sC$correspondent aux limites d'homotopie dans$\cC$, et ils ont même les mêmes catégories d'homotopie. De plus, vous pouvez récupérer$\sC$en prenant (par exemple) le nerf cohérent d'homotopie de la sous-catégorie simplicially enrichie de$\cC$sur les objets fibrants cofibrants, donc en ce sens il y a aussi une manière canonique de revenir en arrière.