Qu'est-ce que cela signifie que le modèle peut refléter le «sourire de volatilité»

Question

Je sais que la volatilité implicite est la valeur pour laquelle le modèle Black Scholes renvoie le prix d'option correct. Je sais aussi que si nous traçons la volatilité sur le graphique des prix de levée, nous verrons "sourire". Cela signifie que le modèle de Black Scholes n'est pas approprié pour l'évaluation car il suppose une volatilité constante. Mais qu'est-ce que cela signifie qu'un autre modèle (par exemple le modèle Kou) puisse refléter le sourire de volatilité? Ce modèle suppose également une volatilité constante. Cela signifie-t-il que dans le modèle Kou le graphique de la volatilité implicite est plus plat, c'est-à-dire que la volatilité est plus constante par rapport à la grève et à la maturité?

Answer 1

Un modèle qui reflète le sourire de volatilité est un modèle avec une dynamique qui se rapproche des prix et qui donne un sourire de volatilité implicite. Cependant, votre question me fait soupçonner que vous êtes flou sur certains de ces éléments, alors examinons cela plus en détail.

Volatilités implicites $\implies$ Prix ​​correct?

Vous mentionnez que la volatilité implicite du modèle de Black-Scholes donne le prix «correct». C'est un peu audacieux car nous ne connaissons pas le prix correct. Nous pouvons supposer que le prix correct est déterminé uniquement par les prix du marché ou par un modèle, si vous pensez à d'éventuelles inefficacités. (Notez que par l'argument Grossman-Stiglitz, vous devriez croire aux inefficacités pendant de courtes périodes de temps).

Les volatilités implicites ne sont que les volatilités qui assimilent les prix du marché et les prix Black-Scholes ( c'est-à-dire impliquées par le modèle Black-Scholes).

Sourire ou sourire narquois?

Vous évoquez également le sourire de volatilité bien que cette forme ne soit pas universelle. Port-1987 sur la plupart des marchés boursiers, le «sourire» est plutôt un sourire narquois : asymétrique avec une volatilité beaucoup plus élevée pour des prix d'exercice plus bas. Pour les matières premières, le sourire narquois est beaucoup plus prononcé, les volatilités implicites étant beaucoup plus élevées à mesure que le prix d'exercice augmente.

Black-Scholes est-il inapproprié?

L'hypothèse d'une volatilité constante signifie-t-elle que le modèle de Black-Scholes est inapproprié pour l'évaluation? Non. La tarification de Black-Scholes qui diffère systématiquement des prix du marché signifie que le modèle est erroné, mais "tous les modèles sont faux", comme l'a souligné George Box. Cependant, le modèle Black-Scholes est toujours utile - et donc approprié.

Pourquoi Black-Scholes diverge des prix du marché

Les modèles de Black-Scholes et Merton supposent un équilibre partiel (pas d'interaction entre l'acheteur et le vendeur dans la fixation des prix) et des limites pour les rendements logiques qui convergent vers la normalité. Cela facilite les calculs - même si cela ne correspond pas à ce que nous observons.

Il y a trois forces qui ne sont pas d'accord avec les hypothèses de Black-Scholes:

• Nous savons que la volatilité n'est pas constante dans le temps. Ce n'est généralement pas un facteur majeur, mais cela aide à expliquer pourquoi nous examinons parfois les surfaces de volatilité .
• Plus important encore: nous pensons que les rendements des actifs présentent de grosses queues ; la probabilité de rendements logarithmiques inhabituels est plus élevée que la normalité ne le suggère. Cela signifie que les options hors de la monnaie sont plus susceptibles d'expirer dans la monnaie que Black-Scholes ne le suggère - et valent donc plus que le prix de Black-Scholes. Cela est vrai même si nous avons correctement deviné la volatilité sous-jacente. Le marché comprend cela et donc le prix du marché est plus élevé. Cela conduit à une volatilité implicite plus élevée pour les prix d'exercice, loin du prix actuel du sous-jacent.
• Également crucial: les investisseurs n'aiment pas les pertes plus qu'ils n'aiment les gains. Cela conduit les investisseurs à être prêts à payer plus pour se protéger contre les baisses qu'ils ne paieraient à la hausse: les options de vente sont plus chères que même les grosses queues le suggèrent.

Ensemble, et les volatilités implicites étant plus élevées loin du prix actuel du sous-jacent, c'est en raison de la grosse queue et de la préférence des investisseurs pour éviter les pertes. Si nous déduisons ces volatilités implicites à partir des options de vente et d'achat et que nous les tracons ensuite par les prix d'exercice de ces options de vente et d'achat, nous obtenons une courbe qui est, en effet, plus élevée à mesure que nous nous éloignons de (prix d'exercice ATM, c'est -à- dire le prix sous-jacent actuel) .

Qu'est-ce qui rend Black-Scholes approprié?

Ce qui maintient le modèle de Black-Scholes approprié, c'est le comportement régulier de cette courbe de volatilité. Un bon modèle peut être ajusté pour l'améliorer - et le modèle de Black-Scholes nous permet de faire exactement cela. Nous pouvons utiliser des volatilités implicites plus élevées pour les prix de levée hors ATM pour corriger les grosses queues et les investisseurs n'aiment pas les pertes plus qu'ils n'aiment les gains.

Comment un modèle peut-il refléter la courbe de volatilité?

Une fois que vous avez compris tout cela, il est facile de voir comment un modèle peut mieux refléter la courbe de volatilité: il peut permettre une variance non constante, des queues plus grosses et la préférence des investisseurs pour réduire le risque de baisse.

Le modèle Kou reflète-t-il la courbe de volatilité? Il le reflète mieux, car il intègre des sauts (qui donnent effectivement des queues plus grosses). Le modèle de volatilité de Heston a également des queues plus grasses et reflète donc mieux la courbe de volatilité.

Peut-on faire mieux que ces modèles? Oui: incorporer également aux investisseurs une plus grande aversion pour les rendements à la baisse serait judicieux. Les modèles Exponential-GARCH tiennent compte de cela, mais vous devrez modifier le modèle Kou ou Heston pour faire de même.