Que signifie assimiler les coefficients de termes similaires lors de la résolution de A et B en fractions partielles?
J'essaie de résoudre moi-même des fractions partielles dans un livre de l'année 10 de Cambridge. C'est un concept qu'ils introduisent tôt pour les étudiants qui veulent se mettre au défi et c'est assez léger sur l'explication.
Par exemple: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Je comprends comment travailler cela au point où j'atteins 7 = x (A + 2B) + 2A-3B. À partir de là, j'ai lu que je devais faire quelque chose appelé «coefficients d'équilibrage. Les coefficients proches des termes similaires devraient être égaux, donc le système suivant est obtenu: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.
Mais je ne comprends pas POURQUOI ni comment il est valide que nous définissions ces parties de l'équation sur ces valeurs. Pourquoi pas A + 2B = 7 2A − 3B = 0 par exemple. J'ai essayé de regarder YouTube et de demander à des amis, mais je n'arrive pas à comprendre.
Je peux le faire et je peux résoudre pour A et B en utilisant cette méthode. Mais j'ai vraiment du mal à comprendre ce que je fais à ce stade du processus. La phrase qui n'arrête pas de surgir quand je regarde ceci est "nous pouvons assimiler les coefficients de termes similaires". Par exemple, sur la page wikipedia sur la décomposition des fractions, il est dit "Équation des coefficients de x et des coefficients constants (par rapport à x) des deux côtés de cette équation ...". Deuxième exemple: il dit "Les coefficients proches des termes similaires doivent être égaux, donc le système suivant est obtenu:" sur la page emathhelp lorsque j'entre dans l'équation 7 / (x + 2) (2x-3).
Réponses
Je pense que vous êtes un peu confus sur les étapes de ce problème. Notez qu'après avoir multiplié les deux côtés par le dénominateur, vous devez essayer de résoudre l'équation résultante, dans ce cas$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Les mêmes termes sont les coefficients de puissances identiques de$x$. Observe ceci$7 = 0x + 7$. Pouvez-vous voir la similitude maintenant? Avait$(A+2B)$été tout sauf $0$, vous auriez un non nul $ax$terme sur le côté gauche de l'équation ci-dessus. La même logique s'applique à$(2A-3B)$.
Alors vraiment tu finis avec $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ qui, une fois résolu simultanément, donne $A= 2$, $B = -1$.
Supposons que vous travailliez avec
$$ax+b=3x+2.$$
Nous voulons dire que cela vaut pour tout $x$. Donc en particulier, nous pourrions écrire
$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$
Il s'agit d'un système de deux inconnues et d'une infinité d'équations. Mais il s'avère que si vous résolvez pour un nombre minimum d'équations (avec les deux premières,$a=3, b=2$), la solution est valable pour toutes les équations, car les expressions symboliques sont totalement équivalentes.
Il en va de même pour les fractions rationnelles ou tout type d'identification.