Quelle est l'expression de la convolution d'une densité uniforme [a, b] et d'une densité normale (0, d ^ 2) ?
Supposons que j'ai$X\sim Uniform[a,b]$et$Y\sim normal(0,d^2)$, quelle est l'expression de la densité de$Z=X+Y$?
Laisser$F_{Z}(z)$être le cdf de$Z$évalué à$z$, et laissez$\Phi(\cdot)$et$\phi$être respectivement cdf et pdf normaux standard. j'ai eu
$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,
différencier par rapport à$z$des deux côtés donne
$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$.
Cela vous semble-t-il correct ? Merci !
Réponses
Commentaire:
En guise de vérification de la réalité, voici une simulation de la convolution de$U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$et$Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$
Ainsi$E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$et$V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$
set.seed(2020)
a = 2; b = 7; sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u); mean(z); mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167 # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343 # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144 # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561 # aprx Var(X)
[1] 2.081356 # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333 # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712
hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2",
main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
add=T, col="red", lwd=2)
Remarque : Figure révisée après modification et commentaire de l'OP.