Quelle est l'histoire du terme «co-domaine»?
Je me demande si quelqu'un en sait plus sur l'histoire du terme «co-domaine» en ce qui concerne les fonctions.
Deux sources que j'ai trouvées:
Russell et Whitehead, Principia Mathematica, 1915, page 34:
la classe de tous les termes auxquels quelque chose ou autre a la relation $R$s'appelle le domaine inverse de$R$; c'est le même que le domaine de l'inverse de$R$.
Cassius Keyser, Philosophie mathématique, 1922, page 168:
Une relation $R$a ce qu'on appelle un domaine , - la classe de tous les termes tels que chacun d'eux a la relation à quelque chose ou autre, - et aussi un codomaine - la classe de tous les termes tels que, étant donné l'un d'entre eux, quelque chose a la relation avec elle.
Il me semble que lorsque Keyser parle d'un «codomain», il parle de la même chose que le «domaine inverse» de Russell et Whitehead. Donc, on dirait que nous sommes passés du «domaine converse» au «codomain» ... au «co-domaine»? Cela semble logique.
De plus, les deux textes parlent de relations, pas de fonctions. Mais, une fonction est bien sûr un type particulier de relation. Alors ... ça a toujours du sens.
Pourtant! (et c'est vraiment pourquoi je pose cette question): la façon dont ces deux textes parlent du `` domaine converse '' et du `` codomaine '' est (appliquée aux fonctions) ce que nous appelons aujourd'hui la `` plage '' ou `` l'image '' du et non ce que nous appelons aujourd'hui son «co-domaine».
Exemple concret:
Prendre une fonction $f$ dont le domaine est défini comme $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, dont le co-domaine est défini comme $\mathbb{R}$, et dont le mappage est défini comme $f(x) =1/x$.
Pour cette fonction, la plage ou l'image est $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, et c'est ce que (encore une fois, si nous voyons cette fonction comme une relation) Russell & Whitehead considéreraient son «domaine inverse» ce que Keyser appellerait son «codomaine».
Mais le `` co-domaine '' de cette fonction a été défini comme $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Je pense donc qu'il y a eu un changement dans l'utilisation du terme ... Autrement dit, il semble que nous ayons:
'converse domain' -> 'codomain' -> 'range'
... alors que «co-domaine» est quelque chose de différent!
C'est bizarre! Qu'est-il arrivé? Quelqu'un a-t-il un aperçu de tout cela?
Réponses
C'est une reconnaissance précoce de la dualité dans la théorie des ensembles. Domain vs Codomain suggère une relation absente du domaine et de la plage.
Ceci est caché dans la théorie des ensembles car les fonctions sont biaisées en ce qu'elles ne sont pas définies symétriquement. Il n'est pas non plus facile de conceptualiser une à plusieurs fonctions naturellement, et deux à plusieurs à une, ce qu'elles font naturellement.
Ceci est corrigé dans la théorie des catégories où la dualité est rendue explicite, plutôt que de la manière secrète et furtive dont elle est faite dans la théorie des ensembles. De plus, la théorie des catégories est la conceptualisation correcte de la covariance comme dans la notion de covariance générale qu'Einstein a utilisée de manière heuristique dans ses recherches sur le caractère général de la loi physique.
Fait intéressant, l'une des découvertes majeures de la théorie des cordes est le rôle que jouent les dualités en physique. (En physique ordinaire, nous voyons la dualité se manifester dans la dualité entre les champs électrique et magnétique). Cela ne me surprendrait pas si au fond cela avait la même racine que les dualités dans la théorie des catégories.