Quelles sont les limites du langage mathématique ?
On m'a dit que les mathématiques ne peuvent pas exprimer qualitativement ce que sont les éléments d'un ensemble, de sorte qu'on ne peut pas dire par exemple que les membres d'un ensemble se composent de tigres blancs. Les mathématiques ne peuvent donc pas ajouter de détails qualitatifs à un concept mathématique ou à une instance mathématique. J'aimerais savoir quelles sont certaines des autres limites du langage des mathématiques par rapport au langage écrit ou parlé comme l'anglais.
Réponses
Le langage mathématique est simplement une façon plus rigoureuse de parler du monde. Il n'y a aucune limitation à cet égard qui ne serait une limitation à aucune langue.
Que personne ne sache aujourd'hui comment exprimer mathématiquement les plaisanteries, les jeux de mots et la poésie n'implique pas qu'ils ne pourraient pas être exprimés mathématiquement. Il fut un temps où personne ne savait comment exprimer mathématiquement les probabilités, par exemple, et regardez maintenant...
Le fait qu'il n'y ait pas de poèmes écrits dans le langage mathématique n'implique pas que cela ne puisse pas être fait. Cela semble plutôt être une conséquence directe du fait qu'il s'agit d'une langue spécialisée et que, par conséquent, la plupart des gens ne la comprennent pas assez bien.
Quant aux plaisanteries, en voici une, écrite dans le langage de la logique formelle :
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
C'est en fait très drôle, mais vous devez le comprendre et très peu de gens le comprennent.
Contrairement à certains commentateurs ici, il y a une grande différence entre les mathématiques et le langage, malgré le fait que n'importe quelle phrase peut évidemment être traduite en "information" mathématisée.
Russell, les positivistes logiques et d'autres ont entrepris de débarrasser le langage de ses qualités obscures en réduisant à la fois le langage et les mathématiques à la logique. Alors que le travail a été assez fructueux, le projet lui-même a été considéré comme un échec, du moins en tant que système complet. La rupture entre le premier et le dernier Wittgenstein offre une synthèse dramatique de cet « échec », étant donné la nature vaste, complexe, vivante et performative du langage.
En premier lieu, le langage est incarné, expérientiel et principalement oral. Cela commence par des vibrations dans l'utérus et se poursuit avec la vie humaine, les contextes physiques et la reproduction. Nous pouvons transcrire des mots en alphabets visuels, mais ceux-ci nécessitent un processus d'apprentissage assez peu naturel et ardu. Vous ne pouvez pas traduire ces signes visuels dans le langage sans avoir accès aux mots parlés. En dehors de pictogrammes grossiers, vous ne pouvez pas traduire ou récupérer une "langue morte" telle que le linéaire A sans une relation, même indirecte, avec une langue "parlée" vivante.
Cela suggère que le langage a le même type d'irréversibilité liée au temps que la vie elle-même, alors que les mathématiques sont « réversibles » et donc vides de sens, si le « sens » a à voir, comme le dit Luhmann, avec des relations entre le réel et le possible. Les mathématiques tentent de se vider le plus possible de contenu expérientiel, tandis que le langage est expérience et suppose toujours, même de loin, un locuteur incarné avec une histoire et un environnement particuliers.
Nous ne pouvons pas apprendre les mathématiques sans le langage, mais nous apprenons facilement le langage sans les mathématiques. En théorie, bien sûr, certains pourraient soutenir que l'IA impliquerait une mathématisation des compétences uniques du langage humain qui se déplacent dans et entre les cerveaux. Mais l'une des capacités linguistiques des cerveaux intelligents est qu'ils se reproduisent, alors qu'il est très douteux que les machines informatiques puissent se reproduire en dehors d'un environnement d'humains reproducteurs.
Il existe une distinction importante entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées.
Les mathématiques pures s'intéressent entièrement aux vérités abstraites de la forme générale « étant donné certaines conditions ou postulats formels initiaux, quelles en sont les conséquences ? Par exemple, dans un système axiomatique, ces conditions formelles sont divisées en primitives , relations et axiomes qui définissent comment les relations s'appliquent entre les primitives. Mais les primitives et les relations n'ont aucune signification intrinsèque.
Lorsqu'un sens est appliqué à un primitif, l'exercice devient un exercice de mathématiques appliquées. Une discipline mathématique pure donnée peut se voir attribuer de nombreuses significations différentes, chacune menant à une branche différente des mathématiques appliquées. Comme David Hilbert l'a un jour fait remarquer de manière apocryphe à propos de la géométrie axiomatique, on pourrait parfaitement appliquer des "points", des "lignes" et des "plans" aux tables, aux chaises et aux chopes à bière.
Ainsi, les propriétés mathématiques des éléments d'un ensemble, en tant qu'espaces réservés primitifs, sont du domaine des mathématiques pures, tandis que les propriétés mathématiques d'une cage de tigres blancs sont du domaine des mathématiques appliquées.
Il y a beaucoup de mathématiques solides derrière les couleurs et la musique. En théorie des ensembles, vous pouvez parler d'ensembles avec différents cardinaux transfinis pour leur nombre de couleurs.
La structure logique peut être schématisée, en général et pour des concepts spécifiques.
Pourtant, je couvrirais mes paris et dirais simplement que nous ne savons pas si nous pouvons associer chaque concept pertinent à sa propre mathématisation, de manière pertinente. Dans les cas où le succès ne semble pas au rendez-vous, il se peut que nous n'ayons pas encore compris le mot problème, pour ainsi dire.