Quelles sont les matrices du POVM pour mesurer le premier $m$ qubits?

Jan 04 2021

Supposons que vous ayez un état quantique $|w\rangle$ composé de $m + n$ qubits, et vous configurez une mesure qui mesure le premier $m$qubits dans la base standard. Quelles sont les matrices du POVM correspondant?

Réponses

3 JSdJ Jan 04 2021 at 16:03

Eh bien, puisque ce sont des mesures projectives sur le sous-espace du premier $m$ qubits, nous pouvons simplement lister tous les projecteurs sur la base de calcul de ce premier sous-espace et les `` remplir '' avec $I$est sur le deuxième sous-espace:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ ce qui donne exactement $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$différents opérateurs pour le POVM. Si vous identifiez des résultats de mesure distincts avec chaque opérateur, disons$\lambda_{j} = j_{d}$ (par exemple $j$ sous forme décimale), vous pouvez également écrire facilement un opérateur de mesure:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

Voir aussi, par exemple, cette belle réponse de Daftwullie pour un opérateur de mesure différent. Notez que cette réponse omet le sous-espace supplémentaire de$n$, mais vous pouvez simplement traiter cela en remplissant avec $I$c'est encore.