Quels réseaux complets sont isomorphes à un produit de réseaux irréductibles?
Compte tenu de toute famille de latex complets $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st pour tous $i\in I$ nous dénotons $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ et $X=\prod_{i\in I}X_i$ notez que nous pouvons définir un treillis complet $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (appelez-le leur produit) sur $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, défini pour $a,b\in X$ comme suit: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ également si $S\subseteq X$ puis $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ et $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ de plus nous appelons n'importe quel réseau avec un élément trivial et disons un réseau complet $\mathfrak{L}$ est irréductible s'il n'existe pas de famille de deux ou plusieurs réseaux complets non triviaux $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Maintenant, avec tout cela dit, ma question est de savoir quand les réseaux complets sont-ils isomorphes à un produit de réseaux irréductibles? Par exemple, y a-t-il des critères «élémentaires» ou «utiles» pour déterminer cela? Quels sont des exemples de réseaux complets qui ne sont isomorphes à aucun produit de réseaux irréductibles? Quelqu'un pourrait-il m'en donner quelques-uns?
Oubli, tout réseau complet fini est isomorphe à un produit de réseaux irréductibles, car si le réseau lui-même est irréductible, nous pouvons le factoriser autrement en deux réseaux qui sont des sous-réseaux du parent et donc exprimables comme des réseaux sur des ensembles chaque plus petit alors le ensemble parent, donc répéter ce processus encore et encore nous fournira finalement une famille de réseaux irréductibles dont le produit est égal à notre parent (ce processus doit se terminer pour chacun de ces réseaux sera sur des ensembles de plus petite taille et par définition tout réseau trivial est irréductible donc si nous réduisons un tel réseau à un ensemble sur un élément, nous avons terminé).
En plus si un treillis complet $L_1\cong L_2\times L_3$n'est pas isomorphe à un prdouct de réseaux irréductibles alors$L_2$ ou $L_3$ne sont pas isomorphes à un produit de réseaux irréductibles donc en appliquant le processus précédent nous voyons tout réseau non isomorphe à un prdouct de réseaux irréductibles doit contenir un nombre infini de sous-réseaux également non isomorphe à un produit de réseaux irréductibles.
Réponses
Pour les treillis distributifs , il existe une manière assez simple de comprendre ces questions. À savoir, notez que si$L=A\times B$ est un produit de deux treillis, les éléments $(1,0)$ et $(0,1)$ sont complémentaires (leur jointure est $1$ et leur rencontre est $0$). Inversement, si$L$ est un réseau distributif et $a,b\in L$ sont complémentaires les uns des autres, alors $L\cong A\times B$ où $A=\{x\in L:x\leq a\}$ et $B=\{x\in L:x\leq b\}$. En effet, il existe une carte de conservation de l'ordre$f:L\to A\times B$ cartographie $x$ à $(x\wedge a,x\wedge b)$ et la carte $A\times B\to L$ Envoi en cours $(x,y)$ à $x\vee y$ est l'inverse de $f$ depuis $L$ est distributif.
Ainsi, un réseau distributif est irréductible ssil ne contient pas d'éléments complémentaires non triviaux. L'ensemble des éléments complétés dans n'importe quel réseau distributif$L$ forme une algèbre booléenne que j'appellerai $B(L)$. De plus, si un réseau distributif$L$ est un produit $\prod_{i\in I} L_i$, puis $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
En particulier, si $L$ est un produit de réseaux (non triviaux) irréductibles $\prod_{i\in I} L_i$, puis $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, puisque chaque $B(L_i)$ is just the two element lattice $\{0,1\}$. Moreover, $L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ where $e_i\in L$ is $1$ on the $i$th coordinate and $0$ on the others, and these elements $e_i$ are just the atoms of the Boolean algebra $B(L)$. With this identification, the projection $L\to L_i$ is just the map $x\mapsto x\wedge e_i$.
Thus, we conclude that a distributive lattice $L$ is isomorphic to a product of irreducible lattices iff the map $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ is an isomorphism, where $I$ is the set of atoms of $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, and the $i$th coordinate of $f$ is the map $x\mapsto x\wedge i$. If $L$ is complete, these $L_i$ will automatically also be complete. In particular, a necessary condition for $L$ to be isomorphic to a product of irreducible lattices is for $B(L)$ to be isomorphic to a power set Boolean algebra.
So, for instance, if $L$ is a complete Boolean algebra that is not isomorphic to a power set, then $L$ is not a product of irreducible lattices. For an explicit example, $L$ could be the lattice of regular open subsets of $\mathbb{R}$, or the lattice of Borel subsets of $\mathbb{R}$ modulo sets of Lebesgue measure $0$. For a different sort of example, $L$ could be the lattice of open subsets of the Cantor set. Then $B(L)$ is the Boolean algebra of clopen subsets of the Cantor set, which is atomless (and in fact is not even complete).
For an example where $B(L)$ is a power set but $L$ is still not a product of irreducible lattices, you could take $L$ to be the lattice of open subsets of $\beta\mathbb{N}$. Then $B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, but its atoms are the singletons $\{n\}$ for $n\in\mathbb{N}$ so the map $L\to\prod_{i\in I}L_i$ as described above is the map $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ sending an open subset of $\beta\mathbb{N}$ to its intersection with $\mathbb{N}$, which is not injective.