Quels sont quelques-uns des premiers exemples de continuation analytique?

Jan 25 2021

Je me demande comment Riemann savait ça $\zeta(z)$pourrait être étendu à un domaine plus large. En particulier, qui a été la première personne à étendre explicitement le domaine d'une fonction à valeur complexe et quelle en était la fonction?

Réponses

8 TomCopeland Jan 26 2021 at 00:34

(Développé 1/26/21

Permettez-moi tout d'abord de signaler aux anglophones non natifs que l'utilisation de l'article «a» dans l'expression «une fonction à valeurs complexes» signifie que la question ne se réfère pas uniquement à la fonction Riemann ou à toute autre fonction zêta. Il inclut toute fonction dont le domaine est un ensemble de réels, donc j'interprète la question comme "Qui est le premier à avoir publié une extension du domaine d'une fonction significative d'un ensemble de réels à un domaine continu du complexe, et quelle était cette fonction? " Pour moi, la signification exacte du terme de continuation analytique et s'il est unique ou non est une autre question.

La première phrase et plusieurs des commentaires se concentrent sur la fonction zêta de Riemann. Riemann n'était pas seul et ses intérêts étaient beaucoup plus larges que la focalisation parfois presque obsessionnelle aujourd'hui sur la RH pourrait l'impliquer. Ses intérêts englobaient à peu près toutes les analyses complexes, il était donc naturel pour lui d'envisager des extensions de fonctions réelles à des fonctions complexes.

Difficile à croire (sent un certain type de biais régional) qu'aucun mathématicien avant Euler, ne s'est réveillé un matin et a pensé: "Et si je modifiais mes vraies formules pour inclure cette racine carrée folle de -1?" Roger Cotes était prêt à le faire de manière significative avec son intérêt pour l'astronomie et la mécanique céleste; familiarité avec les travaux de son collègue Newton sur les répétitions en série des fonctions trigonométriques, leurs inverses, le calcul et la mécanique newtonienne; utilisation des tables logarithmiques introduites au début des années 1600 par Napier pour traiter les calculs avec de grands nombres rencontrés dans l'arpentage de la Terre et du ciel; et travail sur l'interpolation (Cotes et Newton).

Permettez-moi de souligner à nouveau que Cotes était familier avec l'inversion compositionnelle des séries de puissance de Newton (une formule comprend la version associaèdre de la formule d'inversion de Lagrange pour les séries formelles, voir Ferraro ci-dessous), y compris celle pour la fonction exponentielle, et, comme noté par Griffiths ' commentaire à l'article " La fabrication du logarithme " de Freiberger: Sans ces tables de logarithmes, il n'y aurait pas de théorie de Nicholas Mercator de l'aire sous une hyperbole symétrique égalant le log de la distance le long de l'axe des x, ni de la réversion d'Isaac Newton de la formule de l'hyperbole pour atteindre la série infinie de l'antilogarithme $e^x$. (Cartes Mercator, commencez à voir les points?) En fait, Ferraro explique aux pages 74 et 75 de "La montée et le développement de la théorie des séries jusqu'au début des années 1820" comment Newton a inversé la série de puissance pour le logarithme$-\ln(1-x)$ pour obtenir la série de puissance de l'antilogarithme $1- e^{-x}$. (Newton, avec sa superbe maîtrise de la géométrie et de l'analyse, aurait sûrement noté ici aussi la relation de théorème de fonction inverse simple entre les dérivées des deux séries.)

Par conséquent, il semble naturel qu'à la naissance du calcul et à son association avec les séries de puissance et les inverses de composition, Cotes écrivit en 1714, alors qu'Euler avait sept ans,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

une version naissante de la fabuleuse formule d'Euler de 1748 (cf. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Une vérification évidente avec la dérivée (ou les fluxions) vérifie la formule sans utilisation explicite de l'exponentielle

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

qui, je suis sûr, était SOP pour Newton et Cotes - application de la règle de chaîne, aka théorème de fonction inverse dans ce cas, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, ce qui rend en effet la formule évidente.

Dans "L'histoire des concepts exponentiels et logarithmiques", Cajori explique comment John Bernoulli a considéré les solutions d'une équation différentielle transformée du réel à l'imaginaire en 1702 et donne la dérivation de Cotes de sa formule, que Cotes a publiée en 1714 et 1722. Cajori affirme également qu'ensuite Euler n'a pas hésité à utiliser des nombres imaginaires.

La formule d'Euler telle qu'elle est écrite aujourd'hui a dû attendre le développement par Euler et ses collègues de la représentation symbolique de la fonction exponentielle $\exp(z) = e^z$ avec $e$étant la constante d'Euler, parfois appelée constante de Napier car elle se produit dans les tables log de Napier. C'était après que beaucoup de calculs sous-jacents au journal aient été expliqués par Huygens et d'autres. La fonction exponentielle était même parfois appelée «antilogarithme», reflétant la priorité du journal, comme indiqué dans l'article du journal.

La formule logarithmique de Cote est une extension des réels positifs au domaine des nombres complexes de l'argument du logarithme d'une manière un peu plus difficile que de simplement remplacer $n$ dans la série rep de $\zeta(n)$ par des nombres réels sur la ligne réelle, puis par d'autres nombres dans le plan complexe.

Selon l'article de Wikipedia sur Cotes, il a publié un théorème important sur les racines de l'unité (et a donné la valeur d'un radian pour la première fois) en 1722 dans "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Théorèmes, certains logorithmiques, certains trigonométriques, qui donnent les fluents de fluxions donnés par la méthode de mesures développée plus avant). Il a plutôt bien compris trig, et de ce point de vue, les formules de Cotes et d'Euler peuvent être considérées comme la continuation des solutions de$|x| = 1$dans le plan complexe. Les solutions définissent la fonction très simple avec le domaine 1 et -1 et la plage 1, qui est ensuite poursuivie analytiquement comme un cercle de rayon 1 dans le domaine complexe - un type d'interpolation (survolez le lien d'interpolation dans le Wiki sur Roger Cotes ) satisfaisant une équation fonctionnelle simple$|f(x)|=1$. (D'autres exemples de types d'interpolation / continuation analytique de fonctions avec des domaines entiers discrets à celles avec des domaines complexes continus (liés aux interpolations de séries de Newton et sinc / cardinal) sont donnés dans ce MO-Q et ce MSE-Q .)

Dans une perspective plus large, la formule logarithmique de Cotes est un exemple clair de continuation analytique du log en tant que mappage des nombres réels vers le réel vers un mappage du complexe vers le complexe. Cotes était, bien sûr, conscient que (effectivement utilisé, et aurait pris pour acquis que quiconque connaissant le journal le savait aussi), car$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

il a donc écrit la partie la plus difficile de la suite analytique du log des réels positifs au complexe (bien que ne tenant pas explicitement compte de la multiplicité)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Réfs dans Wikipedia: John Napier , L'histoire des logarithmes , le logarithme , Roger Cotes , l'identité d' Euler , la formule d'Euler .

En plus de la sommation d'Euler avec des arguments complexes, Euler a été le premier à étendre la factorielle à la fonction gamma pour les arguments complexes afin de développer un calcul fractionnaire avec sa représentation intégrale hybride Mellin-Laplace pour la fonction gamma (voir " L'héritage d'Euler à la physique moderne "par Dattoli et Del Franco et le MSE-Q mentionné ci-dessus). L'intégrale d'Euler pour la fonction bêta permet la même chose pour les coefficients binomiaux généralisés, ce que Newton (encore une fois, collègue de Cotes) avait fait pour l'extension aux réels des coefficients binomiaux entiers. Malheureusement, Euler n'a pas pleinement compris l'extension aux nombres complexes (Argand et Wessel viennent plus tard) sinon il aurait ramassé Cauchy, Liouville et Riemann sur le calcul de l'analyse complexe.

Pour une préhistoire de la fonction zêta de Riemann, voir « Aspects de la théorie de la fonction zêta dans les travaux mathématiques d'Adolf Hurwitz » par Oswald et Steuding. Les auteurs ne disent pas si «s» est réel ou complexe dans leur discussion sur la préhistoire de la zêta. Il aurait été naturel pour Euler et d'autres avant Riemann d'envisager$s$complexe. Euler avait l'association aux puissances de pi pour des arguments même entiers de zêta qui auraient suggéré une connexion au complexe via à la fois sa formule fabuleuse et sa formule de réflexion pour la fonction gamma, mais il n'avait alors rien à glaner de cette perspective sans Riemann Mellin transform rep. par lequel Riemann a été le premier à vraiment découvrir de nouvelles propriétés de zêta, à appliquer la formule de réflexion d'Euler pour donner au contour de Hankel la continuation de zêta du demi-plan droit au plan complexe complet, et à développer un algorithme intelligent pour déterminer le non -des zéros triviaux, entre autres développements.

Un hareng rouge semble être un effort à courte vue pour forcer une dichotomie artificielle entre interpolation et continuation analytique. J'utilise l'intérêt et la compétence de Cotes (et Newton) pour l'interpolation dans le domaine réel (certainement lié à l'approximation des orbites célestes) pour indiquer qu'il était prédisposé à faire des suites analytiques. De plus, il n'y a pas de dichotomie. Dans plusieurs questions MO et MSE, je montre comment l'interpolation est liée à la suite analytique de la factorielle à la fonction gamma, les nombres de Bernoulli à la zêta de Riemann, les polynômes de Bernoulli à la zêta de Hurwitz et le calcul classique des puissances entières de la dérivée op à des valeurs non entières complexes, entre autres interpolations / AC (par exemple, à partir de ce MO-Q ou de ce MO-Q ). Celles-ci peuvent être liées aux interpolations de fonction sinc / séries cardinales, à l'interpolation d'expansion binomiale et / ou à l'interpolation de Newton et probablement à d'autres (par exemple, ce MO-Q ). Certaines associations plus sophistiquées sont liées au théorème de Mahler et à la référence dans la réponse à ce MO-Q . L'un des aspects des dons de Riemann était sa perspicacité sur la façon dont cela est lié à la transformation de Mellin.

(Pour le biais d'accessibilité, voir Khaneman et Tversky.)