Question d'homotopie de base
Je commence à lire le livre "Théorie rationnelle de l'homotopie" d'Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas et moi avons une petite question sur le tout début (qui ne concerne que la théorie de l'homotopie de base dans les espaces et pas même la théorie de l'homotopie rationnelle). Le livre prouve un résultat appelé "Whitehead's Lifting Lemma" comme Lemme 1.5 (p. 12):
Supposons un diagramme (pas nécessairement commutatif): \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} avec a avec une homotopie$H: A \times I \rightarrow Z$ de $\psi i$ à $f\varphi$.
Présumer $(X,A)$ est un complexe CW relatif et $f$est une faible équivalence d'homotopie. Puis$\varphi$ et $H$ peut être étendu respectivement à une carte $\Phi: X \rightarrow Y$ et une homotopie $K: X \times I: \rightarrow Z$ de $\psi$ à $f \Phi$.
Ensuite, le livre continue avec quelques corollaires, et ma question est: Comment la déclaration suivante est-elle un corollaire du lemme Lifting de Whitehead?
Si $(X, A)$ est un complexe CW relatif et $A$ a le type d'homotopie d'un complexe CW, alors $X$ a le type d'homotopie d'un complexe CW.
Je pense que je pourrais réussir à prouver ce résultat en construisant un complexe CW $\tilde{X}$ de $\tilde{A}$ (un complexe équivalent à $A$) en collant des cellules à l'aide des cartes jointes de $(X, A)$, et en utilisant un résultat de préservation des équivalences dans les pushouts (comme celui-ci Equivalences d'homotopie en carré pushout avec cofibration. ) à chaque squelette, mais je ne vois pas comment cela utilise le lemme ci-dessus, et le résultat dont j'aurais besoin sur les pushouts et les équivalences apparaît plus tard dans le livre je pense.
Tout aperçu est le bienvenu, bravo!
Réponses
Laisser $A$ être un complexe CW et $X$ obtenu à partir de $A$en attachant des cellules par induction. Écrivez$i:A\hookrightarrow X$ pour l'inclusion.
Pour commencer laissez $p:\widetilde X\rightarrow X$être une approximation CW (aka modèle cellulaire, voir Th.1.4). Depuis$A$ est un complexe CW l'équivalence faible $p$ induit une bijection $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(voir Co.1.6). Il y a donc une carte$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ avec une homotopie $H:p\widetilde i\simeq i$. Considérons maintenant le diagramme \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} Les hypothèses du lemme 1.5 sont satisfaites, il y a donc une carte$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ tel que $\varphi i=\widetilde i$ et $p\varphi\simeq id_X$. Ainsi$X$ est une rétraction (d'homotopie) du complexe CW $\widetilde X$, et il en découle immédiatement que $X$ a le type d'homotopie CW.
Or le dernier fait est vrai dans la généralité énoncée, mais nous établirons un énoncé plus précis de la situation actuelle: $X$ est l'homotopie équivalente à $\widetilde X$ comme prévu.
Pour cet avis que $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ prend $\varphi p$ à $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Mais parce que$p$ est une équivalence faible la carte induite est bijective, donc l'équation $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ implique que $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Ainsi nous avons la réclamation.