Question de fonction hypergéométrique contiguë
Je suis tombé sur la fonction hypergéométrique $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ où $k \geq 1$ est un entier, et je crois que c'est égal à $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ où $p$ est un polynôme de degré $k-1$(Wolframalpha confirme les premières valeurs). Je comprends que cela doit découler d'une relation impliquant des fonctions hypergéométriques contiguës, mais je ne sais pas comment et je n'ai pas de bonne référence (la bibliothèque de mon université est fermée pour COVID-19). En fait, je ne me soucie pas des coefficients du polynôme, car j'essaie simplement de montrer qu'une intégrale est finie. Quelqu'un est-il capable de me mettre sur la bonne voie?
Merci beaucoup, Greg
Réponses
Il découle de la transformation d'Euler
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$
Dans votre cas, nous avons
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$
Désormais, la fonction hypergéométrique du RHS peut être étendue comme une série finie de $k$éléments. Cela crée le polynôme de grade$k-1$noté dans le PO. Selon la définition habituelle de la série de puissance, il se réduit à
$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$etc. En généralisant, le polynôme est
$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$
où $(z)_n$est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante. Nous concluons que
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$