Question sur la convergence / divergence des sommes des réciproques d'entiers positifs
En étudiant les tests de convergence connus les plus courants, j'ai constaté que dans certains cas, ces tests ne sont pas concluants (par exemple, le test de rapport lorsque $r=1$, test de comparaison lorsque la série est conditionnellement convergente, etc.), j'ai donc pensé à un test de convergence possible pour des séries impliquant des sommes de réciproques d'entiers positifs.
Le rationnel derrière ce test est le suivant: d'une manière ou d'une autre, la densité de sous-ensembles donnés d'entiers positifs peut être évaluée et comparée à travers leurs sommes partielles. Par exemple, il est intuitif qu'un ensemble de$n$ entiers positifs tels que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ est plus dense qu'un ensemble de $n$ entiers positifs tels que $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
En regardant certaines des séries les plus connues de réciproques d'entiers positifs, il est facile de voir que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ est la somme partielle correspondant au sous-ensemble le plus dense possible d'entiers positifs, car c'est la somme d'entiers positifs consécutifs commençant à $1$. Il est connu et facilement prouvable que la somme$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ diverge, à un taux d'environ $\ln(n)$. Autre séquence divergente connue, la somme des réciproques des nombres premiers, diverge à un taux d'environ$\ln\ln(n)$, et la somme partielle des nombres premiers consécutifs est approximativement $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. Cependant, la somme partielle déjà notée$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ correspond à l'ensemble des nombres triangulaires, et nous avons que $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
Le test de convergence possible énoncé repose sur l'existence d'une fonction $F(n)$, délimité comme $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, de sorte que pour chaque sous-ensemble infini d'entiers positifs $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tel que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, alors nous pouvons affirmer que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; et si$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, alors nous pouvons affirmer que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Par conséquent, le test serait basé sur la somme des dénominateurs de la séquence et aurait la forme suivante:
(Possible) Test de convergence
Étant donné un sous-ensemble infini d'entiers positifs $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tel que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, alors nous pouvons affirmer que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; et si$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, alors nous pouvons affirmer que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
La question est maintenant: est-il possible l'existence d'une telle fonction $F(n)$? Est-ce compatible avec le fait prouvé ici:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Je crois qu'il est possible l'existence d'une telle fonction, et qu'elle serait compatible si elle n'existait pas de somme partielle d'entiers positifs égale à $F(n)$. Par exemple, si hypotétiquement$F(n)=n^e$, il n'existerait aucun ensemble d'entiers positifs tels que le taux de convergence / divergence soit $0$.
Tout commentaire / supposition sur la façon de 1) prouver l'existence ou la non-existence de $F(n)$, et 2) approximant $F(n)$ serait la bienvenue!
Réponses
Malheureusement, même une fonction à croissance rapide $F(n)$ ne parvient pas à assurer $1/a_n\to 0$. Par exemple, mettez$a_{2k}=k!$ et $a_{2k+1}=1$ pour chaque naturel $k$. Même quand nous en avons besoin$\{a_n\}$ est non décroissante, sa croissance rapide peut ne pas assurer la convergence d'une série $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Par exemple, pour chaque fonction à croissance très rapide$g:\Bbb N\to\Bbb N$ laisse la séquence $\{a_n\}$ se compose de blocs consécutifs de nombres $g(k)$ et longueur $g(k)$. Puis une séquence$\{1/a_n\}$ diverge, mais une séquence $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ a de grands sauts à $g(k+1)$ à chaque $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
D'autre part, l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et harmoniques implique que $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ donc si le côté droit de cette inégalité est illimité, alors la série $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ diverge.