Question sur les inégalités fractionnaires
$a,b$sont des entiers positifs. Laisser$\frac{a}{b}$être la fraction avec le plus petit dénominateur possible$b$tel que$\frac{386}{2019}$<$\frac{a}{b}$<$\frac{35}{183}$. Déterminer la valeur de$a+b$.
J'ai essayé de simplifier l'inégalité, mais je suis bloqué. Cependant, je sais que comme$b$doit être le plus petit, tout comme$a$.
Une idée de comment je devrais faire cette question? Merci pour toute aide.
Réponses
Peut-être que ce qui suit vous aidera.
Nous avons$$386b+1\leq2019a$$et$$35b\geq183a+1.$$On peut résoudre l'équation$35b=183a+1,$qui donne$$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$où$k\geq0$est un entier, ce qui donne une fraction$\frac{13}{68}.$
Facile à voir ça$\frac{13}{68}$n'est pas valide.
Maintenant, nous pouvons prendre$k=1$,$k=2$,...
Aussi, on peut résoudre l'équation$386b+1=2019a,$qui donne$$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$où$k\geq0$est entier.
Facile à voir ça$\frac{373}{1951}$est valable.
J'ai eu ça dans le premier cas$k=1$est valide, ce qui donne$\frac{48}{251}.$
La fraction continue de$386/2019$est$[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.
La fraction continue de$35/183$est$[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.
Ainsi, la fraction la plus simple qui se situe strictement entre ces nombres a une fraction continue$$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$