Radical Jacobson de l'anneau polynomial

Aug 18 2020

Définition: Let$M$ haricot $R$module. Puis Jacobson radical de$M$ est désigné par $J_R(M)$ et défini comme l'intersection de tous les sous-modules maximaux de $M$. Si$M$ n'a pas de sous-module maximal alors $J_R(M)=M$.

Laisser $R$ être un anneau commutatif et $S=R[x]$être l'anneau polynomial. Nous savons que Jacobson radical de$S$ est $Nil(R)[x]$ quand $S$ est pris comme $S$module. c'est à dire$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Ma question: quel sera le radical Jacobson de$S$ quand $S$ est pris comme $R$module? c'est à dire$J_R(S)=?$

Aidez-moi, s'il vous plaît. Je vous en serai très reconnaissant.

Réponses

2 FabioLucchini Aug 18 2020 at 16:01

Notez d'abord que $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ comme $R$-module. De plus, le radical Jacobson préserve les sommes directes, d'où$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ c'est le sous-module de polynômes avec des coefficients en $J_R(R)$.


Pour prouver que le radical Jacobson commute avec une somme directe de modules, notez d'abord que chaque $R$-homomorphisme du module $\varphi:M\to N$ Plans $J_R(M)$ dans $J_R(N)$. Appliquer ceci aux projections canoniques$\bigoplus_iM_i\to M_i$ donne $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. De même, en considérant les inclusions canoniques$M_i\to\bigoplus_iM_i$ nous obtenons l'inclusion inverse $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.